Me pueden ayudar con este ejercicio sobre el área de una región plana?

Otra vez tropiezo con la expresión de los rectángulo circunscritos que no tiene sentido, creo que quieres decir inscritos.

¿Significa eso que hay que hacerlo por el método de la suma de rectángulos, o sea la suma de Riemann? Ahora no tengo mucho tiempo pero te dejo planteados los límites y la solución.

La función y = 4 -x^2 es una parábola con eje longitudinal el eje Y y con el vértice hacia arriba.

Desciende desde el punto (0,4)

Calculamos el punto donde corta al eje X positivo

4-x^2 = 0

x^2 = 4

x= 2

Entonces la figura esta formada por un segmento vertical que esta en la recta x=1 entre los puntos (1,0) y (1,3), un segmento horizontal que va desde (1,0) hasta (2,0) y la parábola que une los puntos (1,3) y (2,0) Una especie de triángulo rectángulo con hipotenusa curva.

Y el área es

$$\begin{align}&A=\int_1^2 (4-x^2)dx =\\ &\\ &\\ &\left[4x-\frac{x^3}{3}\right]_1^2=8-\frac 83-4+\frac 13=\\ &\\ &\\ &4-\frac 73 = \frac{12-7}{3}= \frac 53\end{align}$$

Eso es lo que puedo hacer de momento. Si realmente hay que hacer la suma de Riemann Y no sabes ya lo haré dentro de unas horas que eso es más complicado y sobre todo más pesado de escribir.