Resolver ecuación diferencial con e

Martin!

Es una ecuación de variables separables, pasando a un lado la función de x y a otro la de y tenemos

[senx/(1+cosx)]dx = dy/[e^(-y)+1]

E integramos cada lado por separado y los igualamos.

El lado izquierdo es casi directo, el numerador es la derivada del denominador salvo por el signo, eso es la derivada del logaritmo neperiano salvo el signo

-ln(1+cosx)

La intregral derecha puede parecer complicada, pero no lo será si modificamos la expresión de la función

$$\int \frac{dy}{e^{-y}+1} = \int \frac{dy}{\frac{1}{e^y}+1}=\int \frac{dy}{\frac{1+e^y}{e^y}}=\int \frac{e^ydx}{1+e^y}$$

 Y esa integral es obvia, es ln(1+e^y)

luego tenemos

-ln(1+cosx) = ln(1+e^y) + ln(C)

Ya puse ln(C) en vez de C y usando propiedades de los logaritmos tendremos

ln (1/(1+cosx) = ln[C(1+e^y)]

1/(1+cosx) = C(1+e^y)

Hagamos el cambio C = 1/C por comodidad

C/(1+cosx) = 1+e^y

e^y = -1 + C/(1+cosx)

y = ln|-1+C/(1+cosx)|

Y eso es todo.