Variables independientes. Coeficiente de correlación
Sean dos v.a.'s X e Y independientes, que tienen las mismas medias y varianzas. Calcula el
coeficiente de correlación lineal de las nuevas v.a. W y T, sabiendo que:
W=aX+bY
T = aX–bY
Donde a y b son constantes reales.
1 Respuesta
Por definición el coeficiente de correlación es
$$\rho=\frac{Cov(W,T)}{\sigma_W ·\sigma_T}$$Y ahora a sustituir con teoremas sobre la covarianza y la esperanza
Tenemos por un teorema sobre la covarianza
Cov(W,T) = E(WT) - E(W)E(T) =
sustituimos
E[(aX+bY)(aX-bY)] - E(aX+bY)E(aX-bY) =
operamos y usamos teoremas sobre la esperanza
E(a^2·X^2 - b^2Y^2) - [aE(X)+bE(Y)] [aE(x)-bE(Y)] =
a^2E(X^2) -b^2E(Y^2) - a^2[E(X)]^2 +b^2·[E(Y)]^2 =
a^2{E(X^2)-[E(X)]^2} - b^2{E(Y^2)-[E(Y)]^2} =
a^2·V(X) - b^2·V(Y) =
Como nos dicen que las varianzas son iguales
= (a^2-b^2)V(X)
Eso era el numerador, ahora calculamos el denominador.
$$\sigma_W·\sigma_T=\sqrt{V(W)}\sqrt{V(T)}=\sqrt{V(W)·V(T)}$$Vamos a calcular el interior del radical que escribiendo en texto normal molestan mucho las raíces cuadradas
V(W)·V(T) =
V(aX+bY)·V(aX-bY) =
{E[(aX+bY)^2] - [E(aX+bY)]^2}· {E[(aX-bY)^2] - [E(aX-bY)]^2} =
cuidado que va a ocupar dos líneas
{E(a^2·X^2+b^2·Y^2+2abXY) - [E(aX)]^2 - [E(bX)]^2 - 2E(aX)E(bX)} ·
{E(a^2·X^2+b^2·Y^2-2abXY) - [E(aX)]^2 - [E(bX)]^2 - 2E(aX)E(bX)}=
Otras vez serán dos líneas
{a^2E(X^2)+b^2E(Y^2)+2abE(XY)-a^2[E(X)]^2-b^2[E(Y)]^2-2abE(X)E(Y)}
{a^2E(X^2)+b^2E(Y^2)-2abE(XY)-a^2[E(X)]^2-b^2[E(Y)]^2+2abE(X)E(Y)} =
Agrupamos términos y queda
[a^2·V(X)+b^2V(Y)+2abCov(X,Y)]·[a^2·V(X)+b^2V(Y)-2abCov(X,Y)] =
Como X e Y son independientes su covarianza es cero y como las varianzas son iguales nos queda
[(a^2+b^2)V(X)]·[(a^2+b^2)V(X)]
Y como el denominador era la raíz cuadrada de esto queda que el denominador es
(a^2+b^2)V(X)
Y ahora juntamos es numerador y denominador
$$\rho = \frac{(a^2-b^2)V(X)}{(a^2+b^2)V(X)}=\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}$$Y esa es la repuesta. Sencilla en apariencia pero trabajosa de conseguir. A no ser que se hayan podido utilizar teoremas que facilitarán más el trabajo.
Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. Si hubiera sido una respuesta corta y toda de texto normal la pegaría en la otra pregunta y tendrías las dos idénticas. Pero es larga, tiene parte hecha con el editor de ecuaciones y el copiar y pegar de esta página web funciona fatal porque inserta saltos de línea donde le apetece. Así que ahórrame ese trabajo y puntúa ambas preguntas como si fuesen completas.
