Despejar la variable a ambos lados con raíz cuadrada y potencias

Lo haremos con escritura matématica para que se entienda mejor.

Lo primero es elevar al cuadrado los dos lados con lo cual va a desaparecer la raíz cuadrada.

$$\begin{align}&p \sqrt{h^2-b^2}=b\\ &\\ &p^2(h^2-b^2) = b^2\\ &\\ &p^2h^2-p^2b^2 = b^2\\ &\\ &-p^2b^2-b^2=-p^2h^2\\ &\\ &\text{Cambiamos el signo de los dos lados}\\ &\\ &p^2b^2+b^2=p^2h^2\\ &\\ &\text{Sacamos factor común}\\ &\\ &b^2(p^2+1)=p^2h^2\\ &\\ &b^2 = \frac{p^2h^2}{p^2+1}\\ &\\ &b = \pm \sqrt{\frac{p^2h^2}{p^2+1}}\\ &\\ &b = \pm \frac{ph}{\sqrt{p^2+1}}\\ &\\ &\text{Esa respuesta es válida}\\ &\text{Pero están los profes maniáticos de}\\ &\text{racionalizar denominadores, para ellos:}\\ &\\ &b=\pm \frac{ph \sqrt{p^2+1}}{p^2+1}\end{align}$$

Esto ha sido sencillo. Pero hay que tener en cuenta que cuando se resuelven ecuaciones con radicales el hecho de elevar al cuadrado puede introducir respuestas fantasma, Son respuestas que cumplen la ecuación cuadrática pero no cumplen la ecuación original. Por lo tanto, hay que comprobar si las dos cumplen la ecuación original.

Y ya vemos que no puede ser porque el lado izquierdo de la ecuación original tendrá el signo de p con cualquiera de los valores de b mientras que el lado derecho puede tener los dos signos según la solución que tomemos. Asi que hay que hacer que el signo sea igual en ambos lados, para ello el signo de b debe ser el signo de p. Eso se consigue así:

$$b=\frac{p|h| \sqrt{p^2+1}}{p^2+1}$$

De esta forma todo lo que no es p es positivo, porque |h| es positivo por definición, la raíz cuadrada es positiva por definición y el denominador es positivo siempre por ser suma de dos cantidades positivas. Y entonces el signo de b será el de p, que es lo que hace falta.

Si p fuese un número concreto podríamos dar la respuesta concreta, pero al ser un número genérico es esa la respuesta que hay que dar.