Ecuaciones cuadráticas con problemas razonados
a) Se tiene material para poner 20 m2 de un piso rectangular, pero al mismo tiempo el espacio disponible permite como máximo que la diagonal de dicho piso sea de 10 m. ¿Cuáles pueden ser las medidas del piso? (Tip: recuerda el Teorema de Pitágoras)
b) Una empresa invirtió $65,000 por un año de la siguiente manera: Una parte a un 14% de interés simple y la otra parte a un 11% de interés simple. Ganó en ese periodo $8,200. ¿Qué cantidad de dinero se invirtió en cada tipo de inversión?
1 respuesta
a) Sean a y b los lados del piso y de la diagonal
Por el teorema de Pitágoras
a^2 + b^2 = d^2
a^2 + b^2 = 100
Por otra parte nos dicen que el piso tiene 20m^2 de superficie luego
ab = 20
Tenemos este sistema de ecuaciones
ab=20
a^2 + b^2 = 100
despejamos a en la primera
a = 20/b
y lo sustituimos en la segunda
(20/b)^2 + b^2 = 100
400/b^2 + b^2 = 100
multiplicamos por b^2 para quitar el denominador
400 + b^4 = 100b^2
b^4 - 100b^2 + 400 = 0
Es una ecuación bicuadrada, la resolvemos como una cuadrática pero la respuesta es b^2
b^2 = [100 +- sqrt10000-1600] / 2 =
[100 +- sqrt(8400)] / 2 =
[100 +- 20sqrt(21)] / 2 =
50 +- 10 sqrt(21)
Se puede comprobar que ambas soluciones son positivas luego podemos extraer la raíz cuadrada en ambas
b1 = sqrt[50 + 10 sqrt(21)]
b2 = sqrt[50 - 10 sqrt(21)]
Las soluciones con eso mismo en negativo no tienen sentido en este problema
Y en entonces las soluciones para a son
a= 20/b = 20 / sqrt[50 +- 10 sqrt(21)]
a1= 20 / sqrt[50 + 10 sqrt(21)]
a2= 20 / sqrt[50 - 10 sqrt(21)]
Esto merece la pena racionalizarlo para descubrír una cosa que no es tan evidente sin poner los números en decimal con la calculadora
$$\begin{align}&a_1=\frac{20}{\sqrt{50+10 \sqrt{21}}}=\\ &\\ &\\ &\frac{20 \sqrt{50+ 10 \sqrt{21}}}{50+ 10 \sqrt{21}}=\\ &\\ &\\ &\\ &\frac{20 \sqrt{50+ 10 \sqrt{21}}·(50- 10 \sqrt{21})}{(50+ 10 \sqrt{21})(50- 10 \sqrt{21})}=\\ &\\ &\\ &\frac{20 \sqrt{50+ 10 \sqrt{21}}\sqrt{50- 10 \sqrt{21}}\sqrt{50- 10 \sqrt{21}}}{2500-2100}\\ &\\ &\\ &=\frac{20 \sqrt{(50+ 10 \sqrt{21})(50- 10 \sqrt{21})} \sqrt{50- 10 \sqrt{21}}}{400}\\ &\\ &\\ &\frac{20 \sqrt{400}\sqrt{50- 10 \sqrt{21}}}{400}=\\ &\\ &\\ &\sqrt{50- 10 \sqrt{21}}=b_2\end{align}$$Luego hemos visto que a1=b2
Y de la misma forma puede comprobarse que b2=a1
Todo esto era de esperar ya que a y b eran incógnitas intercambiables en las ecuaciones y debían tener las mismas respuestas.
Luego podemos decir que la respuesta es
Una dimensión vale
sqrt[50 + 10 sqrt(21)]
y la otra
sqrt[50 - 10 sqrt(21)]
Voy a ponerlas en decimal par enterarnos
9.789063129m y 2.043096437m
Y eso es todo, era un problema con bastante trabajo, si son así solo contesto uno en cada pregunta. El otro mándamelo en otra si quieres que lo resuelva.
Espero que te sirva y lo hayas entendido, si no es así pregúntame, y si ya está bien no olvides puntuar.
