Hacer una comprobación sobre un teorema

El teorema de Stokes dice que la circulación de un vector a lo largo de un contorno cerrado que limita una superficie es igual al flujo de su rotación a través de esta superficie.

Sea sigma la superficie y sea el campo vectorial F= X(x,y,z)i + Y(x,y,z)j+Z(x,y,z)k.

La teoría dice que el flujo de su rotación es:

$$\begin{align}&\iint_{\sigma}Xdydz +Ydzdx+Zdxdy =\\ &\\ &\text{sustituyendo los valores del campo}\\ &\\ &\iint_{\sigma}(1-y-z)dydz +(1-x-z)dzdx+(1-x-y)dxdy \end{align}$$

Esto lo tendría que repasar, no lo recuerdo y no llego a ningún sitio, es que yo lo veo más una pregunta teórica que de comprobación.

¿No nos dan el contorno de la superficie? Entonces si que se podrían hacer las integrales y podríamos comprobarlo.

Espera, no me daba cuenta que lo nos dicen determina una superficie triangular y un contorno dado por tres rectas. Luego lo resolveré, ahora tengo que hacer otras cosas.

Gracias experto, no hay apuro, toma tu tiempo, gracias nuevamente. Saludos

Como decía. El plano que nos dicen con la restricción al primer octante determina una superficie que es un triangulo con vértices en los puntos

(1,0,0) , (0,1,0) y (0,0,1)

Y el contorno son tres segmentos de recta cuya parametrización es

(1,0,0)+t[(0,1,0)-(1,0,0)] = (1,0,0)+t(-1,1,0) = (1-t, t, 0) con t€[0,1]

(0,1,0)+t[(0,0,1)-(0,1,0)] = (0,1,0)+t(0,-1,1) = (0, 1-t, t) con t€[0,1]

(0,0,1)+t[(1,0,0)-(0,0,1)] = (0,0,1)+t(1,0,-1) = (t, 0, 1-t) con t€[0,1]

Calculemos primero la circulación del campo a lo largo del contorno

Para el primer segmento del contorno las derivadas -1,1,0

$$\begin{align}&\int_0^1[(1-t)(-1)+t·1 +0·0]dt =\\ &\\ &\int_0^1(-1+2t)dt =\left[ -t+t^2\right]_0^1=0\end{align}$$

Para el segúndo las derivadas son 0, -1,1

$$\begin{align}&\int_0^1[0·0+(1-t)(-1)+t]dt =\\ &\\ &\int_0^1(-1+2t)dt =0\end{align}$$

Y para el tercero también sale 0

Luego la circulación es 0

Y ahora calculemos el flujo de rotación a través de la superficie. Lo qu

Primero calculamos el rotacional del campo

$$\begin{align}&r_x=\frac{\partial Z}{\partial y}-\frac{\partial Y }{\partial z}=0-0=0\\ &\\ &\\ &r_y =\frac{\partial X}{\partial z}-\frac{\partial Z }{\partial x}=0-0=0\\ &\\ &\\ &r_z =\frac{\partial Y}{\partial x}-\frac{\partial X }{\partial y}=0-0=0\end{align}$$

Luego el rotacional es (0,0,0) en todo punto y su producto escalar con el vector n=(1,1,1) da 0 y la integral a lo largo de la superficie de 0 es 0. Luego el flujo de rotación a través de la superficie es 0, lo mismo que la circulación a lo largo del contorno.

Y con eso queda probado el teorema de Stokes para ese campo y esa superficie.

Se mandó la respuesta sola cuando estaba escribiendo esto:

"Y ahora calculemos el flujo de rotación a través de la superficie. Lo qu"

Lo que quería poner es que lo que hice el primer día no estaba bien, que esas integrales no eran las del teorema.

El teorema dice

$$\int_{\lambda}Fds=\iint_{\sigma}(n·rot\;F) d_{\sigma}$$

donde gamma es el contorno

Sigma la superficie

F el campo vectorial

N el vector normal a la superficie

Rot F el rotacional del campo que se calcula tal como lo he hecho

Y eso es lo que he calculado y daba cero en los dos lados de la igualdad.