Ayuda en ejercicios Ecuaciones Diferenciales

Te mandado hace poco un ejercicio resuelto. Ahi explicaba los pasos a dar, lo que no escriba aquí lo tienes allí. Lo que si te voy a pedir es que cada pregunta solo puede tener un ejercicio, que las ecuaciones diferenciales ya no son ejercicios sencillos. Entonces resolveré el ejercicio 1 y el 2 me lo mandas en una pregunta nueva tras puntuar esta.

1) Es una ecuación homogénea, la solución dependerá únicamente de las raíces de la ecuación característica de la ecuación diferencial.

La ecuación cararacterística es

k^3 + 3k^2 + 3k + 1 = 0

Solo el 1 y el -1 dividen al coeficiente independiente 1, luego confiemos que nos han puesto al menos una raíz entera y probemos con el -1, que el 1 ya se ve que no es raíz

-1 +3 -3 +1 = 0

Luego -1 es la primera raíz.

Ahora vamos a dividir por (k+1) mediante Rufini

    1  3  3  1
-1    -1 -2 -1
    ----------
    1  2  1 |0

k^3 + 3k^2 + 3k + 1 = (k+1)(k^2 + 2k +1) = (k+1)(k+1)^2 = (k+1)^3

Podría haber visto desde el principio que era el cubo perfecto de un binomio, pero no me fijé.

Cuando las raíces son múltiples de orden n les corresponden estas soluciones particulares linealmente independientes

e^(kx), xe^(kx), (x^2)e^(kx), ..., x^(n-1)·e^(kx)

Y la solución general es cualquier combinación lineal de las particulares, luego la solución de nuestro problema es:

y = Ae^(-x) + Bxe^(-x) + C(x^2)e^(-x)

Vamos a comprobarlo

y' = -Ae^(-x) + B[e^(-x) - xe^(-x)] +C[2xe^(-x) - x^2·e^(-x)] =

(-A+B)e^(-x) + (-B+2C)xe^(-x) - C(x^2)e^(-x)

y'' = (A-B-B+2C)e^(-x) + (B-2C-2C)xe^(-x) + C(x^2)e^(-x) =

(A-2B+2C)e^(-x) + (B-4C)xe^(-x) + C(x^2)e^(-x)

y"' = (-A+2B-2C+B-4C)e^(-x) + (-B+4C+2C)xe^(-x) - C(x^2)e^(-x) =

(-A+3B-6C)e^(-x) + (-B+6C)xe^(-x) - C(x^2)e^(-x)

y''' + 3y'' + 3y'+y =

(-A + 3B - 6C + 3A - 6B + 6C - 3A + 3B + A)e^(-x) +

(-B + 6C + 3B - 12C - 3B + 6C + B)xe^(-x) +

(-C + C - C + C)(x^2)e^(-x) =

0 + 0 + 0 = 0

Luego está bien.

Muchísimo más tiempo me costó verificar que resolver, menuda ecuación.

Y eso es todo. Recuerda puntúar y si quieres me manda el ejercicio 2 en otra pregunta nueva.