Ayuda con Problema de Probabilidades !
Espero alguien me pueda ayudar con la solución de este problema de
Probabilidades que siempre viene en mis Exámenes y hasta ahora no doy
con la solución ni nadie que lo resuelva:
Sobre un segmento OA de longitud L se marcan aleatoriamente dos puntos B y C.
Hallar la Probabilidad de que los segmentos obtenidos sean lados de un triángulo.
Ayudenme por favor, le agradeceré infinitamente alguien quien pueda explicarme la solución detallada
Gracias!
1 Respuesta
Ya respondí esta pregunta que habías mandado repetida.
Si leas esta respuesta primero sería mejor que leyeses antes la otra ya que me basaré en ella y así no repito algunos razonamientos.
Una form ligeramente distinta de resolverla sería. Ya sabemos que al extremo O o al extremo A no puede haber mas de 1/2, luego B debe estar en (0,1/2) y C en (1/2,1) o viceversa
La probabilidad de esto teniendo en cuenta que son dos casos es 2[(1/2)/1/2)] = 1/2
P(Cada punto a un lado del centro) = 1/2
Y ahora que cada punto está donde le corresponde le corresponde debe suceder que la distancia entre ellos no sea mayor que un 1/2
Si el punto izquierdo es x los casos favorables son cuando el punto derecho está en
(1/2 , 1/2 + x)
La longitud de intervalo válido para el punto derecho sera x
Luego la probabilidad será la integral de x entre 0 y 1/2
$$\int_0^{\frac 12}xdx=\left. \frac {x^2}2 \right|_0^{\frac 12}=\frac 18$$Y los desfavorables son cuando el punto derecho está en
(1/2 + x , 1)
la longitud es 1/2 - x
y la probabilidad es esta integral
$$\begin{align}&\int_0^{\frac 12}\left(\frac 12-x \right)dx=\\ &\\ &\left[\frac x2-\frac{x^2}{2} \right]_0^{\frac 12}= \frac 14-\frac 18=\frac 18\end{align}$$Luego estando cada punto a un lado del centro hay la misma probabilidad de que estén separados menos de 1/2 como de que estén separados más de 1/2, luego la probabilidad se reduce a la mitad. Como veníamos anteriormente de una probabilidad de 1/2 ahora se queda en 1/4 = 0.25
Se comprobó que la respuesta está bian con este programa que hace 100 millones de pruebas
var
buenas,i:integer;
b,c,d: double;
begin
randomize;
for i:=1 to 100000000 do
begin
b:= random();
c:=random();
if (b >c) then begin d:=b; b:=c; c:=d end;
if (b<0.5) and (c-b<0.5) and (c>0.5) then inc(buenas,1);
end;
writeln (buenas/100000000);
readln;
end.
El resultado fue 0.25000804
Y eso es todo.
