Buscar una recta que contenga un punto y es perp a otra recta

Primitiva 111!

Las dos rectas no tienen porque cortarse ya que estamos en el espacio y allí lo más habitual es no cortarse. Si se cortaran formarían un plano y habría infinitas respuestas.

FORMA NUMERO 1

La recta será de la forma punto más vector variable

(3, 5, 1) + s(a,b,c)

No obstante no se puede trabajar con tres incógnitas, se toma el vector con una de sus componentes reducidas a 1 y se reza porque no fuera 0 esa componente. Haremos que sea la c la que vale 1

La ecuación paramétrica es

x = 3+as

y = 5+bs

z = 1+s

Y ahora debemos hacer que corte a las otras dos rectas.

Para cortar a r debe ser

1 - t = 3 + as

t = 5 + bs

0 = 1 + s

y deducimos

s = -1

t = 5 - b

1 - t = 3 - a

1 - (5 - b) = 3 - a

1 - 5 + b = 3 - a

b = 7-a

Y para cortar a la recta s

3-as-1 = 5+bs -1 = (1+s-1)/-2

2 - as = 4 - bs = -s/2

2-as = 4 -(7-a)s = -s/2

* 2-as = -3 +as = -s/2

2 - as = -3 + as

5 = 2as

as = 5/2

Volvemos a la ecuación marcada con * ahora la igualdad 1ª y 3ª

2 - 5/2 = -s/2

-1/2 = - s/2

s = 1

a = 5/2

b = 7 - 5/2 = 9/2

Como el vector de la recta era (a, b, 1) podemos multiplicarlo por 2 para que quede con números enteros y la ecuación paramétrica será

x = 3 + 5s

y = 5 + 9s

z = 1 + 2s

Ha salido bastante más complicado de lo quien pensaba voy a comprobarla respuesta.

Evidentemente pasa por (3,5,1)

Tomando s=-1/2 tenemos el punto

x=1/2

y=1/2

z=0

Que pertenece a r, si tomas t=1/2 en r sale ese punto

Y se comprueba que ese punto también pertenece a s con lo cual la recta corta a las ods rectas en el punto donde se unen. Por eso sospecho que el enunciado no sea el que has escrito.

Esta forma ha sido a base de resolver ecuaciones, yo pensaba que sería la más sencilla pero ya he visto que es algo complicada. La siguiente es más de interpretación geométrica

FORMA NUMERO 2

Llamemos t a recta que pasa por A y las otras dos rectas

Dos rectas que se cortan determinan un plano, luego r y t determinan un plano y s y t determinan otro. Como t pertenece a los dos planos, esa recta t será la intersección de los dos. Y el vector director de la recta será el producto vectorial de los vectores directores de los dos planos.

El plano1 queda determinado por r y A

Tenemos el vector de la recta v1=(-1, 1, 0)

Tenemos un punto P(1, 0, 0) de r

Podemos calcular otro vector de ese plano, el que va de A a P

v2=(3,5,1)-(1,0,0) = (2, 5, 1)

Y el producto vectorial de los dos nos da el vector director del plano

| i   j   k|
|-1   1   0| = i + j -7k
| 2   5   1|

El vector director del plano determinado por r y A es (1, 1, -7)

Para el plano Pi2 determinado por s y A

El vector director de la recta s es v3=(1, 1, -2)

Tenemos el punto P2(1, 1, 1) de s

Y el vector AP2 es

v4= (3,5,1) - (1,1,1) = (2,4,0)

Y el producto vectorial de ambos es el vector director del plano

|i   j   k|
|1   1  -2| = -8i +4j +2k
|2   4   0|

Luego e vector director del plano determinado por s y A es (-8, 4, 2)

Y el producto vectorial de los dos nos dará el vector director de la recta

| i  j  k|
| 1  1 -7| = 30i + 54j + 12k
|-8  4  2|

Si lo dividimos por 6 tendremos un vector con la misma dirección pero más sencillo

5i + 9j + 2k

Luego el vector director de la recta es (5, 9, 2)

Y con este vector y el punto 3,5,1 por donde pasa, las ecuaciones paramétricas son

x=3+5t

y=5+9t

z=1+2t

Que como vemos es la misma que se obtuvo de la forma 1 salvo porque he puesto parámetro t en lugar de s.

Yo creo que el profesor quiere que lo hagas de la forma 2, pero tienes que tener imaginación espacial para ver que se hace asi.

Pues esta pregunta ya está. Ahora en la otra resolveré en enunciado sencillo.