Problema de conjuntos
Buenas tardes! Le escribo el siguiente problema sobre conjuntos, no sé si está bien o no:
Sean A,B y C tres subconjuntos cualesquiera de un conjunto U.
1. Defina el conjunto diferencia A\B
2.Justifique razonadamente si son ciertas o falsas las siguientes igualdades:
a) A U ( B - C ) = ( A U B ) - ( A U C )
b)
$$A \cap ( B-C) = ( A \cap B)-(A \cap C)$$
Respuestas:
1)
$$A - B = \{X| X \in A, X \notin B\}$$2)
a) Es verdadera.
$$A U ( B - C )= \{ X | X \in A ó X \in B y X \notin C\}$$$$( A U B) - (A U C )= \{X | X \in A ó X \in B\}- \{X|X\in A ó X \in C\} = \{ X| X \in A ó X \in B\}$$b) Es verdadero
$$A \cap ( B- C)= \{X|X \in A y X \in B\}$$$$( A \cap B)- (A \cap C) = \{X |X \in A y X \in B\}-\{X|X \in A y X \in C\}= \{ X|X \in A y X \in B\}$$Muchas gracias.
Saludos.
1 respuesta
La respuesta 1 la tienes bien, pero la 2 no.
2a) Sea x € AnC
Como AnC <= A <= A u (B - C) tenemos que
x € A u (B - C)
pero x no € (AuB) - (AuC) ya que
x € AnC <= A <= AuC
con lo cual es eliminado en (AuB) - (AuC)
2b) sea x An(B-C)
Se cumple x€A, x€B y x no€ C ya que en B-C no hay ni un solo elemento de C
entonces x € (AnB) - (AnC) ya que x€(AnB) y x no€(AbC)
Luego tenemos An(B-C) <= (AnB) - (AnC)
Ahora tomemos un x € (AnB) - (AnC) se cumple
x € A
x € B
x no € C ya que x € A y todo elemento de A que estuviera en C se la ha quitado
estas dos ultimas significan x € B-C
Luego tenemos que x€A y x€(B-C) luego pertenecerá a la intersección
x € An(B-C)
Luego (AnB) - (AnC) <= An(B-C)
De las dos inclusiones que he puesto en negrita se deduce la igualdad de los conjuntos
An(B-C) = (AnB) - (AnC)
Y eso es todo.
Buenas noches experto el apartado 2 no lo he entendido, no se qué pasos tengo que dar para demostrar esas igualdades, me podría volver a explicármelo.
Gracias.
Saludos.
Con texto normal no se puede escribir el símbolo de conjunto incluido, por eso eso he usado el símbolo <= con el significado de incluido o igual.
Si tienes dos conjuntos A y B y se cumplen estas dos inclusiones
A <= B
B <= A
se deduce automáticamente
A=B
Eso es lo que he hecho.
Y demostrar que A <= B puede ser por propiedades, teoremas previos o como he hecho yo, que consiste en tomar un elemento de A y ver que ese elemento está en B.
Y luego al contrario, se toma un elemento de B y se comprueba que ese elemento está en A con lo cual B <= A.
Este ha sido el procedimiento usado por si lo que no entendías era el procedimiento. Si lo que no entiendes es este ejercicio concreto dímelo, pero si haces un poco de diagramas de los conjuntos verás que no es difícil.
Hola experto el ejercicio no lo entiendo, si no es mucho pedir me gustaría que me lo explicara paso a paso.
Muchas gracias y siento mis molestias.
Saludos
En 2a) demostramos que es falso porque hay elementos de
Au(B-C) que no están en (AuB) - (AuC)
En concreto tomaremos un elemento x € AnC
Como x es un elemento de A está en Au(B-C)
Pero no está en (AuB)-(AuC) ya que al pertencer a AnC pertenece a AuC y la operación de conjuntos que teenmos quita todos los elemnetos de AuC
Si tampoco entiendes 2b dímelo, ahora tengo que dejar el ordenador.
Hola experto se podría también justificar de la siguiente forma el ejercicio 2.a:
ej:
A {a, b, c}
B {d, e, f}
C {g, h, i}
B-C = {d, e,f}
AU(B-C) = {a, b, c, d, e,f}
para el lado derecho de la ecuación
AUB = {a, b, c, d, e, f}
AUC = {a, b, c, g, h, i}
AUB-AUC = {d, e,f}
AU(B-C) es diferente a AUB-AUC <abbr title="2010-03-04 02:37:21 +0000"></abbr>
Sería correcto este procedimiento, así me es más fácil de entender.
Saludos.
Si, puede hacerse así, aunque yo creo que el profesor agradecerá mas que lo hagas por un método deductivo como el que te puse yo que por un contraejemplo. Pero es perfectamente válido.
