¿Cual es la prueba de las siguientes propiedades?

Esto es inmediato si se usan las propiedades de las congruencias, lo que pasa es que no sé si es una pregunta previa o posterior al estudio de esas propiedades.

Las funciones r sub b que has definido son equivalentes a el menor número no negativo congruente con n módulo b

Vaya, en el editor de ecuaciones de esta página no funciona el símbolo \equiv, usaré el símbolo \cong que es parecido.

a)

$$\begin{align}&r_b(m) \cong m\; (mod\;\; b)\\ &r_b(n) \cong n\; (mod\;\; b)\\ &\\ &\text{Por propiedades de las congruencias}\\ &\\ &r_b(m) + r_b(n) \cong m+n\;(mod\;\;b)\\ &\\ &\text{si tomamos el menor congruente no negativo}\\ &\text{la congruencia se hace igualdad}\\ &\\ &r_b(r_b(m) + r_b(n)) = r_b(m+n)\end{align}$$

b)

$$\begin{align}&r_b(n) \cong n\;(mod\;\;b)\\ &r_b(m) \cong m\;(mod\;\;b)\\ &\\ &\text{Por propiedades de las congruencias}\\ &\\ &r_b(n)·r_b(m) \cong nm \;(mod\;\;b)\\ &\\ &\text{Y entonces el menos residuo no negativo es igual}\\ &\\ &r_b(r_b(n)·r_b(m)) = r_b(nm)\end{align}$$

Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. Si necesitas una demostración sin usar congruencias es más difícil, pero pídemelo.