Variables Aleatorias, Estadística
Sea X una variable aleatoria que indica el tiempo que tarda un antivirus en hacer una revisión de un PC, con función de densidad:
$$\begin{align}&f(x)= c(2+x) \quad si \quad 0\lt x \lt 5\\ &f(x) = 5 / x^3 \quad si \quad x\geq5 \end{align}$$a) Calcular el valor de c para que f(x) sea función de densidad.
b) Hallar la función de distribución.
c) Se considera que un antivirus de esta marca es bueno si su tiempo de
revisión no supera más de 7 minutos. Suponiendo que se eligen 7
antivirus de este tipo independientes, ¿cuál es la probabilidad de que,
como mucho, 5 sean buenos?
El apartado a) lo resolví así:
$$\begin{align}&\int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx = 1\\ &\\ &\\ &\int_0^5 c(2+x) + \int_5^\infty {5 \over x^3}\,dx = 1\\ &\\ &c = {1 \over 25}\end{align}$$El apartado b) lo resolví así:
$$\begin{align}&P(x \leq 0) = 0\\ &\\ &P(0 \lt x \lt 5) = \int_0^x {2 \over 25} + {x\over25} \,dx = {2x\over25} + {x^2\over50}\\ &\\ &P(x \geq 5) = \int_5^x {5 \over x^3} \,dx = -{5\over 2x^2} + {1\over 10}\\ &\\ &F(x) = \quad 0 \quad x \leq 0\\ &F(x) = \quad {2x\over25} + {x^2\over50} \quad 0\lt x \lt 5\\ &F(x) = \quad -{5\over 2x^2} + {1\over 10} \quad x\geq 5\end{align}$$En el caso de que lo de arriba estuviera bien, ahora el apartado c) no se exactamente como hacer.
Gracias de antemano.
1 Respuesta
a)
Primero comprobaré que está bien calculada la constante c ya que omitiste varios pasos
$$\begin{align}&\int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx =\\ &\\ &\int_0^5 c(2+x) + \int_5^\infty {5 \over x^3}\,dx = 1\\ &\\ &c\left[2x+\frac{x^2}{2} \right]_0^5-\frac 52 \frac{1}{x^2}\left. \right|_5^{\infty}=\\ &\\ &c\left(10+\frac {25}{2} \right)+\frac{5}{50}=1\\ &\\ &\frac{45}{2}c= \frac 9{10}\\ &\\ &c= \frac{18}{450}= \frac{1}{25}\end{align}$$El apartado a está bien
b)
Formalmente se utiliza una variable de integración distinta del límite superior. Y lo cierto es que es una tontería porque se dan más pasos, pero sería asi:
$$\begin{align}&P(x \leq 0) = 0\\ &\\ &P(0 \lt x \lt 5) = \int_0^x \left({2 \over 25} + {t\over25} \right)\,dt = \left[{2t\over25} + {t^2\over50}\right]_0^x=\frac{2x}{25}+\frac{x^2}{50}\\ &\\ &P(x \geq 5) = \int_5^x {5 \over t^3} \,dt = -\left.{5\over 2t^2}\right|_5^{x}=-\frac{5}{2x^2}+\frac{1}{10}\\ &\\ &\end{align}$$Espera que no es solo ese asuntillo de las formas, la probabilidad para x>=5 está mal. La probabilidad de <=x es la integral entre -infinito y x. En este caso la función de densidad es nula hasta 0 luego es la integral entre 0 y x. Te has olvidado de poner la integral entre 0 y 5.
$$\begin{align}&P(x \geq 5) = \int_0^5\left(\frac{2}{25}+\frac{t}{25} \right)dt+\int_5^x {5 \over t^3} \,dt =\\ &\\ &\\ &\left[\frac{2t}{25}+\frac{t^2}{50} \right]_0^5 -\left.{5\over 2t^2}\right|_5^{x}=\\ &\\ &\\ &\frac {10}{25}+\frac{25}{50}-\frac{5}{2x^2}+\frac{1}{10}=\\ &\\ &\frac{4}{10}+\frac{5}{10}-\frac{5}{2x^2}+\frac 1{10} =1-\frac{5}{2x^2}\end{align}$$Fijate que ahora está bien porque cuando x tiende a infinito la función de distribución vale 1, mientra que antes se quedada en 1/ 10
Luego la función de distribución es:
$$\begin{align}&F(x) = \quad 0 \quad x \leq 0\\ &\\ &F(x) = \quad {2x\over25} + {x^2\over50} \quad 0\lt x \lt 5\\ &\\ &F(x) = \quad 1-{5\over 2x^2} \quad x\geq 5\end{align}$$c) Al probar con 7 antivirus independientes estás haciendo una distribución binomial con n=7, te falta conocer la probabilidad de que sea bueno. Y será bueno si tarda menos de 7 minutos.
La probabilidad de quien tarde menos de 7 minutos es
$$F(7) = \quad 1-{5\over 2·7^2}= 1-\frac{5}{98}=\frac{93}{98}$$Luego la p de la binomial es p=93/98
La probabilidad de que como mucho haya 5 buenos es
$$\begin{align}&P(\le 5)=1-P(6)-P(7)=\\ &\\ &1-\binom{7}{6}\left(\frac{93}{98}\right)^6\left(\frac {5}{98}\right)^1-\binom{7}{7}\left(\frac{93}{98}\right)^7\left(\frac {5}{98}\right)^0=\\ &\\ &1-\frac{7·93^6·5+93^7}{98^7}=1-\frac{93^6(35+93)}{98^7}=\\ &\\ &\\ &\\ &\approx 1 -0.953948943=0.04605105702\end{align}$$Así es, el tiempo que han dado es tam amplio que hace que sea difícil encontrar dos antivirus malos entre 7.
Y eso es todo.
No entiendo el apartado b) no se supone que:
$$P(x \geq 5) = \int_5^\infty f(x)dx$$
¿Por qué añades el intervalo que va desde 0 hasta 5?
El apartado c) me quedó claro, muchas gracias
La definición de la función de distribución a partir de la función de densidad es
$$\begin{align}&F(x) =P(X\le x)= \int_{-\infty}^x f(t)dt\\ &\\ &\text{Como f(t)=0 para x}\lt 0 \text{ obviamos la zona negativa}\\ &\\ &F(x) = \int_0^x f(t)dt\\ &\\ &Si\; x \lt 5\implies F(x)=\int_0^x \frac{2+t}{25}dt\\ &\\ &Si\; x\ge 5\implies F(x)=\int_0^5 \frac{2+t}{25}dt+\int_5^x \frac {5}{t^3}dt\end{align}$$Esa es la forma. Y vuelvo a repetir el absurdo al que llevaba la función de distribución que habías calculado, ya que en el infinito valía 1/10, cuando es condición obligatoria que la función de distribución valga 1 en el infinito.
Y eso es todo.
