Necesito saber como se calcula el limite: lim cuando por tiende a 0 de (2-2cox-x^2)/(tg^2x-sen^2x)

Calcularemos la fórmula de Taylor del numerador y el denominador. Para ello se calculan las derivadas sucesivas. Al fin y al cabo es parecido a lo que hicimos con l`Hôpital-Bernoulli.

La función y derivadas del numerador en x=0 son

f(0) = 2-2+0 = 0

f'(x) = 2senx - 2x ==> f'(0) = 0+0 = 0

f''(x) = 2cosx - 2 ==> f''(0) = 2-2 = 0

f'''(x) = -2senx ===> f'''(0) = 0

f''''(x) = -2cosx ==> f''''(0) = -2

y ya no nos hará falta más, por la fórmula de Taylor el numerador sera

2 - cosx - x^2 = -(2/24)x^4 + O(x^5) = -(1/12)x^4 + O(x^5)

donde O(x^5) es un infinitésimo de orden 5 cuando x tiende a 0

Y en el denominador

g(0) = 0 -0 = 0

g'(x) = 2tg(x)[1+tg^2(x)] - 2senx·cos(x) = 2tg(x)+2tg^3(x) - sen(2x) ==> g'(0)=0+0-0=0

g''(x) = 2[1+tg^2(x)] + 6tg^2(x)[1+tg^2(x)] - 2cos(2x) = 2+8tg^2(x)+6tg^4(x)-2cos(2x) ==> g''(0)=2+0+0-2=0

g'''(x) = 16tg(x)[1+tg^2(x)] + 24tg^3(x)[1+tg^2(x)] + 4sen(2x) = 16tg(x)+40tg^3(x)+24tg^5(x)+4sen(2x) ==> g'''(0)=0+0+0+0=0

g''''(x) = 16[1+tg^2(x)] + 120tg^2(x)[1+tg^2(x)] + 120tg^4(x)[1+tg^2(x)]+8cos(2x) = 16+136tg^2x+240tg^4(x)+120tg^6(x)+8cos(2x) ==> g''''(0)=16+0+0+0+8=24

Una vez conseguida la distinta de 0 ya no hace falta más. Por la fórmula de Taylor

tg^2(x) - sen^2(x) = (24/24)x^4 + Q(x^5) = x^4+Q(x^5)

Conde Q(x5) es un infinitésimo de orden 5 cuando x tiende a cero

Y con estas expresiones del numerador y el denominador vamos al límite.

$$\begin{align}&\lim_{x\to 0}\frac{2-\cos x-x^2}{tg^2x-sen^2x}=\\ &\\ &\\ &\lim_{x\to 0}\frac{-\frac 1{12}x^4+O(x^5)}{x^4+Q(x^5)}=\\ &\\ &\\ &\text{dividimos todo entre } x^4\\ &\\ &\\ &=\lim_{x\to 0}\frac{-\frac 1{12}+\frac{O(x^5)}{x^4}}{1+\frac{Q(x^5)}{x^4}}=\\ &\\ &x^4\text{ es un infinitesímo de orden 4 cuando }x\to0\\ &\text{y los  numeradores O y Q son de orden 5,}\\ &\text{entonces el límite d esos cociente es 0}\\ &\\ &= \frac{-\frac{1}{12}+0}{1+0}= - \frac 1{12}\\ &\end{align}$$

Y eso es todo.