Halla el valor del parámetro m para que se cumpla que:

a) Dos vectores son ortogonales cuando su producto escalar es cero.

Y el producto escalar de dos vectores ya sabes que es la componente primera por la primera más la segunda por la segunda

a·b = (2, -1) · (5m, 4) = 10m - 4 = 0

luego

10 m = 4

m = 4/10 = 2/5

b) Supongo que has querido poner raíz de 2 medios.

Hay dos forma correctas de escribirlo

Sin editor de ecuaciones se pondría sqrt(2) / 2

Con el editor de ecuaciones escribirías

frac{sqrt 2}{2}

Y te quedaría esto

$$\frac{\sqrt 2}{2}$$

Pues eso, que la abreviatura que se usa para la raíz cuadrada en todos los lenguajes de programación, graficación y edición de textos es sqrt.

El seno de un ángulo es sqrt(2)/2 cuando él angulo es 45º o 135º

Esto traducido a radianes que me parece que es lo que quieren que hagas es Pi/4 o 3Pi/4.

Bueno, y a estos 2 ángulos se les podría sumar cualquier cantidad 2·k·Pi con k cualquier número entero.

Tenemos por tanto 2 ecuaciones

La primera

2m - Pi6 = Pi/4 + 2·k·Pi

2m = Pi/4 + Pi6 + 2·k·Pi

2m = (6Pi + 4Pi)/24 + 2·k·Pi

2m = 10Pi/24 + 2·k··Pi

m = 5Pi / 24 + k Pi

Y la segunda es

2m - Pi6 = 3Pi/4 + 2·k·Pi
2m = 3Pi/4 + Pi6 + 2·k·Pi
2m = (18Pi + 4Pi)/24 + 2·k·Pi
2m = 22Pi/24 + 2·k··Pi
m = 11Pi / 24 + k Pi

c) Para calcular la distancia de un punto (xo, yo) a una recta Ax + By + C = 0 se calcula

d(P,r) = |Axo + Byo + C| / sqrt(A^2 + B^2)

Lo primero pondremos la ecuación de la recta en forma general

3x - y - m = 0

(xo, yo)=(0, -1)

d(P, r) = |3·0 -(-1) -m| / sqrt(3^2 + 1^2) = |1-m| / sqrt(10) = 2

|1- m| = 2·sqrt(10)

Esto son dos ecuciones

Si 1-m > 0

1-m = 2sqrt(10)

m = 1-2sqrt(10)

Si 1-m< 0 es

-1+m = 2sqrt(10)

m = 1+ 2sqrt(10)

Luego hay dos soluciones

m = 1-2sqrt(10)

m = 1+2sqrt(10)

Y eso es asi porque dado un punto y una dirección siempre habrá dos rectas equidistantes del punto en esa dirección, serán paralelas una a cada lado.

Y eso es todo.