Cuadriláteros convexos con n-agono regular

Un cuadrilátero convexo puede ser definido por cuatro vértices en orden creciente.

Luego los convexos serán

C(n,4) = n(n-1)(n-2)(n-3) / 24

Creo que es más sencillo así que desarrollando los productos

Mientras que la totalidad (convexos y no convexos) se expresa con los vértices en cualquier orden, pero hay algunas combinaciones de vértices que dan el mismo cuadrilátero. Se obtienen expresiones distintas para el mismo cuadrilátero empezando por un vértice distinto o recorriéndolo es sentido inverso

1, 2, 3, 4 = 2, 3, 4, 1 = 3, 4, 1, 2 = 4, 1, 2, 3 =

1, 4, 3, 2 = 2, 1, 4, 3 = 3, 2, 1, 4 = 4, 3, 2, 1

Luego cada cuadrilátero se puede representar de 8 formas

Y el número total de cuadriláteros será

c = n! / 8

Vamos a comprobarlo mínimamente

Con un 4-agono serían

c= 4! / 8 = 24/8 = 3

El 1 será el vértice arriba-izquierda, el 2 arriba-derecha, el 3 abajo-derecha y el 4 abajo-izquierda

El primero es el cuadrilátero convexo 1234, ya no existe otro que sea convexo.

Después podríamos tomar el 1243 que es una mariposa con las alas arriba y abajo.

Y finalmente el 1324 que es una mariposa con las alas a izquierda y derecha.

Esos son los tres cuadriláteros que hay.

Para n = 5 nos dice que hay

c = 5! / 8 = 120 / 8 = 15

Es lógico. Los 4 vértices que se usarán se pueden tomar de 5 formas (según cual sea el que se deje) y una vez tomados los 4 vértices hay tres cuadriláteros como antes. Luego son 5·3 = 15 caudriláteros, está bien.

Y eso es todo.