¿Cual es la demostración de las raíces enteras de un polinomio?
Demostrar que si ninguno de los 3 números
$$f(-1),f(0),f(1)$$
es divisible por 3
1 Respuesta
Asi viene el ejercicio es del libro de J.V. Uspensky Teoría de ecuaciones del tema raíces enteras saludos
El enunciado dice
12. Demostrarlo si ninguno de los tres números f(-1), f(0) y f(1) es divisible por 3.
Aquí aparte de no saber que f(x) es un polinomio con coeficientes entero se añade que lo que hay que demostrar se refiere el enunciado del ejercicio 11 que dice que no hay raíces enteras. NO puedes mandar ejercicios tal cual están escritos en el libro si hay cosas que solo pueden saberse por el contexto, debes aportar también el contexto.
Tal como probábamos en el ejercicio anterior:
Si es una raíz entera de la ecuación f(x)=0 siendo f(x) un polinomio con coeficientes enteros, entonces se cumple que para cualquier valor a entero
(c-a) divide a f(a)
Supongamos que existe una raíz entera c, entonces
[c-(-1)] = (c+1) divide a f(-1)
(c-0) divide a f(0)
(c-1) divide a f(1)
Dado un número entero c, los números c-1, c, c+1 son tres números seguidos y alguno de ellos es múltiplo de 3 por obligación.
Tomamos el que sea múltiplo de 3, dividirá a su correspondiente f(-1), f(0) o f(1), luego uno de estos tres (al menos) es múltiplo de 3. Pero esto absurdo porque ninguno de ellos era múltiplo de 3. Luego la hipótesis de que hay una raíz entera es falsa.
Y eso es todo.
