Hallar los mínimos de una función con raíz cúbica
Tengo la siguiente función:
f(x)=(x^2-16)^2/3
Si lo represento, se ve claramente que hay 2 mínimos en -4,4, y un máximo en 0, pero sin embargo, si hago la derivada y la igualo a 0, para hallar numéricamente los máximos/mínimos de la función, solo me da x=0, que es el máximo relativo.
Como se demuestra que hay mínimos en -4,4? Esos dos valores los puedo sacar de igualar la función principal a 0 y sacar las raíces, pero eso me da puntos de corte con el eje, que yo sepa no es el método para conseguir los mínimos..
Lo primero he hecho la gráfica y se ve perfectamente lo que dices. Pero también se ve que la función en los puntos -4 y 4 hace un pico, eso significa que no hay derivada.
La teoría de máximos y mínimos dice que si f es derivable en un intervalo (a, b)
Los máximos o mínimos relativos en (a, b) son puntos donde la derivada se anula.
Como en -4 y 4 no es derivable la función esos puntos deben ser estudiados aparte por otros métodos.
Vamos a corroborar lo que de que no es derivable en esos puntos.
f '(x) = (2/3)·2x·(x^2-16)^(-1/3) = (4/3)x / (x^2-16)^(1/3)
Tienes un denominador que se anula en x=-4 y x=4, luego la función no tiene derivada en esos puntos y por eso deben estudiarse aparte.
Y puesto que la función es siempre positiva y en esos puntos vale cero, entonces son mínimos.
Y eso es todo.
