Solución de ecuaciones diferenciales utilizando la transformada de laplace. Help me!
Buenas noches,
Estoy realizando el siguiente ejercicio
w'-y=0
w+y'+z=1
w-y+z'=2senx
w(0)=1; y(0)=1; z(0)=1
la primera ecuación me da
sw-y=1
la segunda ecuación me da
w+sy+=2
la tercera ecuación me da
2/(s^2 +1)
Pero no se como hacer para despejar las incógnitas, ni para reemplazar esta en la otra ecuación.
El resultado debería ser:
w(x)=cosx +senx
y(x)=cosx - senx
z(x)=1
Gracias por cualquier colaboración que me puedan brindar.
1 respuesta
Caro Martin!
En realidad, las ecuaciones que dices que te dan no tienen como incógnitas w, y, z sino la transformada de w, la transformada de y y la transformada de z. Pero para no andar con símbolos especiales- admitamos esa notación pero sabiendo en cada momento si nos referimos a las funciones o a sus transformadas.
Ahora nos referimos a las transformadas y las ecuaciones son
sw - y = 1
w + sy + z = 2
w - y + sz = 2/(s^2+1) + 1 = (s^2+3)/(s^2+1)
es un sistema de tres ecuaciones engorroso de resolver pero resolvible
y=sw-1
w + s^2w - s + z =2 ==> z = 2 - w - s^2w + s
w - sw + 1 + sz = (s^2+3)/(s^2+1)
w - sw + 1 + 2s - sw - s^3w + s^2 = (s^2+3)/(s^2+1)
w(1-2s -s^3) = (s^2+3)/(s^2+1) - 1 - 2s - s^2
w(1-2s-s^3) = (s^2+3 -s^2-1-2s^3-2s-s^4-s^2)/(s^2+1)
w(1-2s-s^3) = (-s^4-2s^3-s^2-2s+2)/(s^2+1)
w = (s^4+2s^3+s^2+2s-2) / [(s^2+1)(s^3+2s-1)]
y = sw-1 =s (s^4+2s^3+s^2+2s-2) / [(s^2+1)(s^3+2s-1)]-1
Eso lo resolví con el ordenador que se están pasando con el problema
y =( 2s^4-2s^3+3s^2-4s+1) / [(s^2+1)(s^3+2s-1)]
z = (s^2+s) / (s^3+2s-1)
Y no salen esas respuestas que dicen.
Voy a tratarlo de resolver y analizar en lo que me ayudaste para finalizar y puntuar tu respuesta.
Gracias por tu colaboracion
Espera, lo hice muy mal me parece. Pero muy mal.
Ahora lo intentaré hacer bien.
No, se me cruzó la idea de que tenía que estar mal a la fuerza. Pero no, está bien resuelto y verificado. Lo que pasa es que puede que me falte teoría para poder resolver esas inversas.
Si calculas la inversa de w con
Inversa Laplace
Aparece una expresión compleja que termina con
+sin(t)+cos(t)
Lo cual se asemeja a la respuesta.
Si partes de la respuesta, la transformada debería ser (s+1)/(s^2+1)
Si haces la división entera de la transformada de w te dará
(s+1)/(s^2+1) + (s-1)/(s^3+2s-1)
Con lo que la inversa sería
sent+cost + inversa de (s-1)/(s^3+2s-1)
Y la inversa de eso da esa expresión compleja larga que te decía con Wolframalpha y en Máxima ni siquiera da nada, lo deja tal cual.
Pues no puedo hacer más. Lo que si he comprobado es que las soluciones que nos dan son buenas.
