Linealidad de ecuaciones diferenciales
Esta es una cuestión que me trae loco, no sé si se me escapa algo, pero te digo lo que piesno:
La a) la tengo clara que es Verdadera porque el orden es el mayor diferencial, en este caso y^n
LA b) también lo tengo clara que es verdadera.
La C) también es verdadera.
la d) debe ser la falsa, pero no entiendo por qué.
Gracias por todo. Un saludo
1 Respuesta
La a es verdadera, aparece la derivada enésima de y (x) con el coeficiente a0(x) y es la derivada de mayor orden que aparece.
La c es verdadera, el d^2y(x) / dx^2 es la derivada segunda, luego el orden es dos
La d es verdadera impecable, es exactamente la definición de ecuación lineal en y(x) y sus derivadas.
Y precisamente fijándote en la d te puedes dar cuanta que la b es la falsa, ya que en una ecuación lineal la función y(x) y sus derivadas aparecen como tales, si acaso unicamente pueden estar multiplicadas por una función de x. Mientras que en b la función y(x) aparece dentro de la función seno.
Y eso es todo.
Sigo teniendo dudas sobre la opción b, por ejemplo:
si aplico un ejemplo para la opción b:
y''+k*sen(x^2+2x+1)=0 es una ecuación lineal.
Si, en este caso sería lineal. Cuando se dice ecaución diferencila lineal se sobreentiende lineal en y(x) y sus derivadas. Piensa en las combinaciones lineales de vectores y piensa que
y, y', y'', y''', ....
Fueran vectores
Entonces los ai(x) serían como los coeficientes de una combinación lineal de vectores, lo único que aquí se permite que esos coeficientes sean o bien constantes o bien funciones de x (solo de x)
Ejemplos buenos:
y'' + y = e^x
x^2·y''' + sen(x)·y'' + y' + 3y = 0
Ejemplos malos:
y·y'' + y' = 3x
Ya que en el término y·y'', si consideras que el coeficiente es y no es una función de x, y si consideras que el coeficiente es y'' tampoco es una función de x
x·e^y + 3x·y'' = 3
Mal porque la función y aparece en e^y, solo puede aparecer de la forma que tienes en el ejemplo d
(x+y)y'' + y' = senx
mal porque el coeficiente de y'' no es una función exclusiva de x
y'' + y' + y^2 =x
Mal porque la y aparece elevada al cuadrado.
Y eso es todo.
Perdona insistir, pero ya que la opción b no es la correcta podrías ponerme algún ejemplo como la opción b? Es decir con el sen(y(x)). entiendo la propiedad de linealidad pero la opción b la sigo viendo correcta...
gracias por todo.
un saludo
El ejemplo que puse
y'' + y' + y^2 = x
incumple la norma por lo mismo que la incumple la del enunciado
y''(x) + k·sen(y(x)) = 0
Lo primero no te líes, es lo mismo escribir y que y(x), se escribe lo primero porque es mucho más conciso y a la larga más entendible, si se escribe lo segundo es para recalcar que la variable dependiente es la y.
Entonces lo que pasa es que la ecuación debe ser un sumatorio de términos y en cada uno de ellos no puede aparecer ninguna función de y, y', y'', y''', ... que no sea 1, y', y'', y''',.. multiplicada por otra función que dependa de x solamente.
Los términos tienen que ser:
f(x)
g(x)·y
h(x)·y'
p(x)·y''
Etc.
Y si hay uno solo que sea de otra forma ya no es una ecuación diferencial lineal.
