Integral (sustitución trigonométrica)

Al ser de la forma

Sqrt(u^2 - x^2)

El cambio

x = u·cost

o

x= u·sent

Hace que al menos desaparezca ese radical. Ahora hace falta que después del cambio salga, es decir, que esté preparada para que salga. Vamos a probar.

$$\begin{align}&\int \frac{\sqrt{5-x^2}}{x}dx =\\ &\\ &x=\sqrt 5\; sent \quad dx= \sqrt 5\;cost\;dt\\ &\\ &=\int \frac{\sqrt{5 -5sen^2t}}{\sqrt 5 sent}\sqrt 5 \;cost\;dt=\\ &\\ &\\ &\int \frac{\sqrt 5 \sqrt{1-sen^2t}\sqrt 5 cost}{\sqrt 5 sent}dt=\\ &\\ &\\ &\sqrt 5\int \frac {\cos^2t}{sent}dt=\sqrt 5\int \frac{1-sen^2t}{sent}dt=\\ &\\ &\\ &\sqrt 5\int \frac{1}{sent}dt-\sqrt 5 \int sentdt=\\ &\\ &\\ &\sqrt 5\; cost+\sqrt 5\int \frac{dt}{sent}\end{align}$$

Ahora es cuando viene lo bueno, pero te lo dejo por si lo quieres hacer tú

El cambio

t=tg(z/2)

Hará que salga una integral racional

O se puede intentar algo especial

$$\begin{align}&\frac{1}{sent}= \frac{sent}{sen^2t}= \frac{sent}{1-\cos^t}=\\ &\\ &\frac{sent}{(1+cost)(1-cost)}=\\ &\\ &\\ &\text {Y conun poco de imaginación se ve que eso es}\\ &\\ &\frac{sent}{2(1+cost)} +\frac{sent}{2(1-cost)}\\ &\\ &\\ &\\ &\end{align}$$

Que se puede integrar inmediatamente. O bien sin hacer el último paso se hace z= cost en el anterior. O bien lo que te decía al principio del cambio t=tg(z/2) pero nunca me ha gustado tener que hacer ese cambio.

Ya me dirás si necesitas algo más o es suficiente.