Demostrar por inducción que (f1.f2...)'(x0) si las funciones son derivables en x0
Demostrar por inducción que (f1.f2...)'(x0) si las funciones son derivables en x0
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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Para hacerlo mas comprensible llamaré f, g, h a las funciones
(fg)' = f'g + fg'
(fgh)' = (fg)'h + fgh' = f'gh+fg'h +fgh'
(fghk)' =(fgh)'k + fghk' = f'ghk+fg'hk +fgh'k + fghk'
Se ve claramente que la derivada del producto de varias funciones es una suma de productos, en cada una de las cuales está derivada una función y las otras están sin derivar.
Para n=1 se cumple, e incluso para n=2, 3 y 4 como hemos probado.
Supongamos que se cumple para n funciones
$$\begin{align}&(f_1f_2···f_n·f_{n+1})'=\\ &\\ &(f_1f_2···f_n)´f_{n+1}+f_1f_2···f_nf_{n+1}^´=\\ &\\ &f_1^´ f_2···f_nf_{n+1}+ f_1f_2^´ ···f_nf_{n+1}+...+f_1f_2···f_nf_{n+1}^´\end{align}$$Luego se cumple para n+1 y queda demostrada la fórmula de que la derivada del producto es un suma de productos, cada uno de ellos con una de las funciones derivada y las otras sin derivar.
Y eso es todo.
