¿Dos triangulos semejantes y con misma area son congruentes?

Si es verdadero lo que dices.

Pongamos el triángulo con A a la derecha abajo, B izquierda abajo y C arriba

La base es AB que se llama lado c.

El otro triángulo semejante es A'B'C' puesto de la misma forma para que se correspondan los lados y la base es c'

La altura de ABC es

h=a·senB

y la de A'B'C' es

h'=a'·senB'

Sea k la constante de proporcionalidad de la semejanza

a/a' = b/b' = c/c' = k

Entonces

h/h' = a·senB / a'·senB'

Pero por semejanza y la forma en que hemos puesto los triángulos se tiene que el ángulo en B y B' es el mismo, luego senB = senB'

h/h' = a/a' = k

entonces el área de ABC es

Área(ABC) = ch/2

y la de A'B'C' es

Área(A'B'C') = c'·h' / 2

Como c/c' = k tenemos c'=c/k y h'=h/k

Área(A'B'C') =(c/k)·(h/k)/2 = (ch/2)·(1/k^2)

Como las áreas de ABC y A'B'C' son iguales

ch/2 = (ch/2)(1/k^2)

1=(1/k^2)

k^2=1

k=1 ya que no tiene sentido kla respuesta negativa

entonces

a/a' = b/b' = c/c' = 1

luego

a=a', b=b' y c=c'

Los dos triángulos son iguales.

Y eso es todo.