Ecuación Diferencial Exacta Ej1

Paras saber si estas ecuaciones son exactas hay que derivar cada término por la variable contraria a la que dice el diferencial. Si dan lo mismo es una ecuación diferencial exacta.

Verás el signo de multiplicar × algunas veces, pero significará equis, es la forma de engañar un poco al corrector y no tener quien usar otro nombre de variable

Luego el primer término, que tiene dx lo derivamos respecto a y dando

3x^2 + e^y

Y el segundo respecto a × dando 

3x^2 + e^y

Dan lo mismo, luego es una ecuación diferencial exacta.

Vamos a escribir la ecuación diferencial tal como en la literatura sobre estas ecuaciones

M(×,y) dx + N(×,y)dy = 0

La resolución lleva estos pasos:

1) Integramos M o N respecto a la variable que tienen en su diferencial y ponemos como "constante suma" a una función de la otra variable g(y) o g(×). Dejo optar por integrar M o N porque puede haber una que sea más sencilla que la otra. Yo integraré M.

$(3x^2·y + e^y) dx = yx^3 +xe^y + g(y)

2) Lo obtenido lo derivamos respecto a la variable de la función g. La función g aparece derivada.

×^3 + ×e^y + g'(y)

3) Lo obtenido lo igualamos al otro término de la ecuación. Podría haber dicho que se hacía en el mismo paso que antes, pero tampoco importa mucho. Así podemos despejar g'(y)

×^3 + ×e^y + g'(y) = ×^3 + ×e^y - 2y

g'(y) = -2y

4) Integramos g' respecto a su misma variable

$-2ydy = -y^2 + C

5) Con este valor volvemos al paso 1 y sustituimos la función g que había. La constante la colocamos al otro lado detrás de un igual y ya tenemos la solución

yx^3+xe^y -y^2 = C

Muchas veces no se puede poner en forma explicita despejando la función y, así sucede en este caso.

Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. A lo mejor tu libro da un método ligeramente distinto, pero este es válido.