Ejercicio 5 ecuaciones diferenciales
hola valeroasm! Del mismo documento tengo que resolver todos los ejercicio impares y como no he podido resolverlos te pido por favor que me ayudes con el ejercicio 5 que aparece a continuación:
https://drive.google.com/file/d/0B1YOC4LYCZqSQnFfRThyb2VHQlE/edit?usp=sharing
muchas gracias.
1 respuesta
La verdad es que este tema no lo manejo muy bien.
¿Tienes la teoría? Pásame el libro de donde salen los ejercicios si es posible (eso vale 100 puntos) y si no pásame el libro que estéis estudiando. Yo recuerdo que hace tiempo me pusieron un ejercicio donde a partir de la solución particular se podía calcular la general. Pero ahí me explicaban el método a usar y ahora no lo recuerdo y buscando por internet no es tan fácil dar con ese método exactamente y no tengo más tiempo para hacerlo.
La ecuación diferencial es:
xy'' - (2x+1)y'+(x+1)y = e^x ; y(1)=0, y'(1)=0 sabiendo que y1=e^x es una solución.
En efecto, es una solución, pero de la homogénea
xe^x - (2x+1)e^x + (x+1)e^x = e^x(x-2x-1+x+1) = e^x·0 = 0
Y en el libro en 2.2.7 tienes el método de resolución.
Supondremos que
y = y1(x)·u(x)
es la solución general de la ecuación completa.
Derivando tenemos
y' = y1'·u + y1·u'
y'' = y1''·u + 2y1'·u' + y1·u''
tomando y1(x) = e^x lo que queda es
y = e^x·u
y' = e^x(u+u')
y'' = e^x(u+2u'+u'')
Sustituyendo en la ecuación tenemos
x·e^x(u+2u'+u'') - (2x+1)e^x(u+u') +(x+1)e^x·u = e^x
x(u+2u'+u'') - (2x+1)(u+u') +(x+1)·u = 1
u''·x + u'(2x-2x-1) + u(x-2x-1+x+1) = 1
u''·x - u' + u·0 = 1
u''x - u' = 1
Hacemos el cambio
u'=z
u'' = z'
z'·x - z = 1
z'·x = 1+z
z'/(1+z) = 1/x
ln(1+z) = ln(x) + lnC1 = ln(C1·x)
1+z = C1·x
z = C1·x -1
deshacemos el cambio
u' = z= C1·x - 1
u = C1·(x^2)/2 - x + C2
y = e^x[C1·(x^2)/2 - x + C2]
Y ahora hacemos que cumpla las condiciones iniciales
y(1) = 0
e(C1/2 - 1 + C2)=0
C1/2 - 1 + C2 = 0
C1 - 2 + 2C2 = 0
Y ahora la otra condición.
y'(1) = 0
y'= e^x[C1(x^2)/2 -x + C2 + C1·x -1]
y'(1) = e(C1/2 - 1 + C2 + C1 -1) = 0
3C1/2 + C2 - 2 = 0
3C1 + 2C2 - 4 = 0
Luego el sistema a resolver es
C1 - 2 + 2C2 = 0
3C1 + 2C2 - 4 = 0
Si a la segunda le restamos la primera queda
2C1 - 2 =0
C1=1
1-2+2C2 = 0
C2 = 1/2
Luego la solución general que era
y = e^x[C1·(x^2)/2 - x + C2]
se transforma con estas condiciones en
y=e^x[(x^2)/2 -x + 1/2]
Voy a escribirla de la forma que me gusta
$$\begin{align}&y=\frac{e^x}{2}(x^2-2x+1)\\ &\\ &y=\frac{e^x(x-1)^2}{2}\end{align}$$He comprobado que cumple la ecuación diferencial y las condiciones iniciales, luego está bien.
Por favor, lo de la gráfica explícame con que lo hacéis, yo suelo hacerlas con Winplot, pero si no se puede ya lo intentaría con Máxima. Pero todo ello hazlo en otra pregunta por favor, aquí ya trabajé bastante.
y como has comprobado que cumple la ecuación diferencial y las condiciones iniciales. no se como se hace.
Muy sencillo pero lleva trabajo, por eso lo hice con Máxima. Pero se puede hacer a mano.
Calculas las funciones
y', y''
Y sustituyes los valores en la ecuación diferencial para ver si se cumple
y = (e^x / 2)(x-1)^2
y' = (e^x / 2) [(x-1)^2 + 2x - 2)] = (e^x / 2)(x^2 - 1)
y'' = (e^x / 2)(x^2 - 1 +2x)
Y ahora sustituimos esto en la ecuación diferencial y vemos si se cumple
xy'' - (2x+1)y'+(x+1)y = e^x
x(e^x / 2)(x^2 - 1 + 2x) - (2x+1)(e^x / 2)(x^2 - 1) + (x+1)(e^x / 2)(x-1)^2 =
(e^x / 2) [x^3 - x + 2x^2 - 2x^3 + 2x - x^2 + 1 + (x^2-1)(x-1)] =
En el final use el producto notable (x+1)(x-1)(x-1) = (x^2-1)(x-1) se ahorra cuentas
= (e^x / 2) (-x^3 + x^2 + x + 1 + x^3 - x^2 - x +1)=
(e^x / 2) · 2 = e^x
Luego se verifica la ecuación diferencial.
Y las condiciones iniciales también porque
y(1) = (e^x / 2) (1-1)^2 = 0
y'(1) = (e^x / 2) (1^2-1) = 0
Y eso es todo, un saludo. Las comprobaciones las hago con programas aparte así tengo la seguridad de que la respuesta dada es correcta, mientras que si lo haces a mano lleva mucho tiempo y es fácil confundirse.
