Probabilidad. Variables aleatorias independientes (Zi ~ N(0,1), con i = 1,..., 16.)

Cuando se suman n variables normales independientes con la misma media y varianza resulta otra variable normal cuya media es la suma de de las medias y la varianza la suma de las varianzas. Es decir:

$$\sum_{i=1}^{16}Z_i \sim \;N(n\mu,\sqrt{n\sigma^2})=N(n\mu,\sigma \sqrt{n})$$

Ese es el punto de partida, si a ti te dan otro más avanzado mejor que mejor.

a) Tenemos la variable aleatoria media de la suma de las 16, eso supongo que quieres decir con la Z con la barra arriba

Esa variable es como la que hemos calculado arriba pero dividida después por 16, entonces la media se divide por 16 y la varianza por 16^2 con lo que la variable será

$$\begin{align}&\overline{Z} \sim N\left(\mu, \sqrt{\frac{16 \sigma^2}{256}}\right)= N\left(\mu, \frac{\sigma}{4}\right)\\ &\\ &\text{Como las Z son N(0,1)}\\ &\\ &\overline Z = N(0,1/4)\end{align}$$

Y ya podemos calcular la probabilidad, para ello tipificamos la variable y a los extremos habrá que restarles la media y dividir por la desviación.

$$\begin{align}&P(\overline Z \lt 1/2) = P\left(N(0,1)\lt \frac {\frac 12-0}{\frac 14}\right) =\\ &\\ &\\ &P(N(0,1) \lt 2)=0.9772\\ &\end{align}$$

b)

Z1+Z2 será una variable con media la suma de las dos y varianza la suma, es decir:

$$\begin{align}&Z_1+Z_2 \sim N(0+0, \sqrt{1+1}) = N(0,\sqrt 2)\\ &\\ &P(Z_1+Z_2 \lt 2) = P\left(N(0,1) \lt \frac{2-0}{\sqrt 2}  \right)=\\ &\\ &\\ &P(N(0,1)< \sqrt 2 \approx 1.4142)=\end{align}$$

Por interpolación sería:

= Tabla(1.41) + 0.42[Tabla(1.42)-Tabla(1.41)] = 0.9207+ 0,42(0.9222-0.9207)=

= 0.9207 + 0.42 · 0.0015 = 0.9207+ 0.00063 = 0.92133

c) La diferencia de dos variables aleatorias normales tiene como media la diferencia de la media y como varianza la suma de las varianzas.

La variable resultante va a ser exactamente igual a la del apartado b ya que la suma de las medias y la diferencia es igual al tratarse de ceros. Luego si es la misma distribución y la misma pregunta la respuesta es la misma

0.92133

d) La variable que has definido es exactamente una chi-cuadrado con 16 grados de libertad. La chi-cuadrado con n grados de libertad es la suma de n cuadrados de variables N(0,1)

Buscamos la probabilidad en alguna tabla o usamos algún programa de estadística. Yo he usado Microsoft excel, la fórmula ha sido

=DISTR.CHICUAD(32;16;VERDADERO)

y el resultado es

P = 0.99000022