Nacimiento hijo funcionario. Trámites para seguro priv

Mi marido y yo vamos a ser padres por primera vez dentro de 3 semanas, si todo sale bien. Mi marido es maestro (funcionario) y tiene el seguro médico con Asisa y yo con la seguridad social. Mi pregunta es que cuando nazca ¿en qué seguro tenemos que incluirlo? ¿Se puede en los dos a la vez? A mí me gustaría llevarle casi todas sus revisiones en el privado, pero si es así, cuando nazca, ¿qué hay que hacer? ¿Pasa automáticamente al seguro de mi marido sin ningún coste o nos sube el precio del recibo de Asisa?