¿Puedo romper contrato laboral sin indemnizarles?

Estoy a punto de firmar un contrato laboral con una empresa A. Esta empresa me obliga a firmar pero mi trabajo no empieza hasta Enero. Dentro de las clausulas aparece que habría que indemnizar a la empresa y darle un plazo de un mes de aviso en caso de querer cambiar de empresa.
Mi cuestión surge porque junto a esta oferta tengo otra pendiente con una empresa B, la cual no me dará respuesta hasta la próxima semana.
Entonces, mi pregunta es.. Si la próxima semana, una vez firmado el contrato con la empresa A, me confirmase la empresa B que he sido elegida para el puesto ¿estoy obligada a indemnizar a la empresa A si les avisase antes de empezar a trabajar con ellos? Igualmente, ¿tendría qué darles un mes de preaviso si aun no empecé?
Agradecería mucho me ayudaseis, es URGENTE. La verdad es que la cantidad que piden para indemnizar no la tengo y el trabajo de la otra empresa me interesa mucho más.