Pluriempleo, ¿Puedo llevarlo a cabo?

Actualmente vengo desarrollando mi actividad laboral como auxiliar de enfermería en una residencia para la 3ª edad (Grupo C según V Convenio Estatal de la Dependencia 2008), en la cual estoy dado de alta y a jornada completa (no recuerdo las horas semanales que rezan en el contrato), ¿con un sueldo neto de unos 750?.
Recientemente me han ofertado trabajar en una clínica dental, dada de alta y a media jornada (de Lunes a Viernes y de 17h a 21h -20h semanales-), ¿con un sueldo neto de unos 400?.
Tengo la posibilidad de compaginar ambos trabajos, pues los horarios no se solapan, y quisiera saber si puedo hacerlo legalmente y en tal caso cómo, o si de tal extremo debe ocuparse el empresario. ¿Deben tener conocimiento ambas empresas de mi condición de pluriempleado?