Situación laboral

No puedes solicitarla directamente. La solicitud de información debe hacerla un juez en un procedimiento judicial. También pueden consultarlas las administraciones públicas, si está acreditada la utilidad.
¿Para qué necesitas la información? Así a lo mejor te puedo decir algo más

Deseo saber si una persona se ha dado de baja de una empresa y si está trabajando en otra o está en paro. Es importante para mí. Tengo el nombre de las dos empresas, DNI, nombre y número de afiliación a la seguridad social. Es cuestión de saber si me miente o me dice la verdad.

Lo siento nerdala, pero es imposible. La única manera como te decía antes, es si este tercero tiene una deuda contigo. Ahí cuando reclames si le puedes pedir al juez que solicite su vida laboral.
Lamentó no poder ayudarte más.

¿Tampoco se puede saber si está de baja por enfermedad a través de la seguridad social?

No, todo eso es información privada. Sólo puede recabarla un juez