Deber inexcusable de carácter publico y personal y compatibilidades

Buenos días:

Estoy trabajando en correos como contratado de bolsa (Personal laboral sin oposición), y he aprobado unas oposiciones de personal laboral al ministerio de sanidad, la firma del contrato de la oposición sera en breve y en otra provincia y cuincide con un contrato en la bolsa de correos.

¿Puedo pedir permiso por deber inexcusable de carácter publico y personal? ¿tengo algún otro permiso si no es ese?

El trabajo en sanidad es de fijo discontinuo y aunque la firma sea ahora no empezaría trabajar en sanidad hasta mayo por lo que no me gustaría perder los posibles contratos de correos hasta entonces, y volver a estar activo en la bolsa de correos en los periodos que no trabajase en sanidad.

¿Son compatibles ambos trabajos entre si?¿debo renunciar a correos a la firma del contrato de sanidad? ¿ o renunciar a correos en la fecha de incorporación a sanidad en Mayo?.

Un saludo.