¿Qué seguro cubre a hijo de funcionario?

Mi pareja y yo no estamos casados, ni somos pareja de hecho. Ella es funcionaria, tiene seguro privado, y yo. Trabajador por cuenta propia, con la seguridad social. Nuestro hijo nace en diciembre.
¿Podemos inscribirlo cada uno en su seguro a la vez o debemos elegir uno de los dos seguros?. Es decir, nuestro hijo, ¿estará cubierto por los dos seguros o solo por uno de ellos?, y en su caso, ¿se puede/debe optar por el de la mujer o el de hombre?