Batería 5800

No es normal que la batería dure ese tiempo.
Una de las cosas que debes tener en cuenta es cerrar siempre todos lo que abres, guía, aplicaciones, herramientas ya que no se cierran solas y si las dejas abiertas, consumen más batería, yo tengo uno y con uso normal, Manos libres en el coche y todo dura cuatro o cinco días.
Acabo de llegar de un viaje en coche de dos días y estuvo conectado todo el tiempo, ya que he utilizado el navegador, las baterías de ahor a no son como las de antes.
Prueba poner los ajustes originales de fábrica y empieza desde allí a configurarlo a tu gusto, a mi me paso con un N 97 y por lo visto puse una cose que en este momento no recuerdo, creo que era algo de las notificaciones y tambiéwen me duró la batería una mañana.

La 1ª vez que usas el teléfono tienes que dejar que se descargue totalmente el móvil y luego darle una carga de 12 horas, con esto marcas el máximo y mínimo de la batería. Luego, las 3 primeras cargas de 12 horas de nuevo.
Normalmente este móvil, apagándolo por la noche, dura casi 3 días, sino 2 días. Lo puedes cargar cuando se quede sin batería o cuando lo necesites, lo que sí que fastidia la batería es que dejes el móvil sin usar y sin batería durante mucho tiempo.
Si después de hacer esto sigue durando tan poco, que te cambien la batería, ya que la garantía de la batería, al ser un consumible, es solo de 6 meses y ponen muchas pegas para cambiarlas.
Todo esto te lo digo porque tengo un 5800 y no me ha dado problemas de batería y dándole caña, evidentemente, cuanto más uses la wifi menos dura, pero el resto, unos 2 días, ya te digo.

En principio es normal que te dure 5 horas, estas usando los servicios que más batería gastan wifi, gps, etc.. Así que no esperes que con ese uso te dure mucho más.
Lo de usarlo conectado al cargador pues hombre si puedes y quieres que te dure más rato no te queda otra, las baterías actuales son de litios, tienen menos efecto memoria que las antiguas pero aun así con el tiempo se nota que pierden capacidad, por eso no es bueno tenerlos siempre cargando de vez en cuando hay que dejar que se vacíen o al menos te marque batería baja y cargarlos enteros, porque el móvil cuando detecta que la batería este llena no la carga más por mucho que este enchufado solo mantiene la carga.

Pues no lo veo del todo anormal, si estás usando todas esas cosas a la vez.
Si miras las características del 5800 en la web de Nokia, mira el tiempo de batería que te pone "en conversación", que es lo mismo que si estuvieras usando todas esas funciones.
Ningún Nokia creo, supera "en conversación", las 4 - 6 horas, así que...
Las baterías de litio no hace falta dejarlas descargar del todo, aunque yo lo hago de todas formas como lo he echo siempre.
Y SI, debes dejarlas cargar del todo, si es con el móvil, mejor.