Demostraciones sobre movimiento browniano

$$\begin{align}&E(|W_t-W_s|^2wee)\end{align}$$

La variable que resulta de restar un movimiento browniano de s pasos de otro de t pasos es un movimiento browniano de t-s movimientos.

Los valores que puede tomar estarán comprendidos entre -(t-s) y (t-s) separados por 2, por ejemplo

{-1, 1}

{-2, 0, 2}

{-3, -1, 1, 3}

y la probabilidad de cada uno viene dada por una binomial

p(k) = B((k+t-s)/2, 1/2)

Ya que el valor k viene dado por la diferencia la suma de los -1 y 1 que han llevado hasta k.

La binomial B((k+t-s)/2, 1/2) indica esta indica el número de -1 que ha habido en el movimiento que lleva hasta k

He intentado deducir teoricamente la esperanza a partir de los valores |Wt-Ws|^2 multiplicados por la probabilidad de la binomial y es imposible llegar a nada

Para t-s=1

E = (-1)^2·(1/2) + 1^2·(1/2) = 1/2+1/2 = 1

Para t-s=2

E = (-2)^2·(1/4) + 0^2·(1/2) + 2^2·(1/4) = 4/4 + 4/4 = 2

Para t-s=3

E = (-3)^2·(1/8) + (-1)^2·(3/8) + 1^2·(3/8) + 3^2(1/8) = 9/8 +3/8+3/8+9/8=24/8=3

Para t-s=4

E=(-4)^2·(1/16)+(-2)^2·(4/16)+0+2^2·(4/16)+4^2·(1/16) = 2(16+16)/16=4

Para t-s=5

E=2(25+45+10)/32 = 5

Se ve que se va cumpliendo.

Pues esto es todo lo que puedo hacer, verificar que se cumple, si quieres te puedo verificar más casos, pero la demostración no la voy a poder hacer, esa sumatorios son una mezcla entre cuadrados y números combinatorios que no es fácil deducirlos. Necesitaría la teoría y probablemente las triquiñuelas que hayan hecho en tu texto concreto.

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Bueno, olvídate de todo lo anterior. He ido a la definición de movimiento Browniano, porque yo solo tenía idea de la caminata aleatoria y estaba intentando deducir a través de ella cosas del movimiento Browniano que son muy difíciles de demostrar.

Una de las propiedades que debe cumplir un movimiento Browniano es que el incremento

W(t+h) - W(t)

es una distribución normal N(0, sqrt(h))

y si la desviación es sqrt(h) ==> la varianza es h.

Entonces 

W(t) - W(s) = W[s+ (t-s)] - W(s)

y la varianza será t-s

Y recordemos que la varianza se calcula así:

V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2

E(X^2) = V(X) + [E(X)]^2

Si X = W(t)-W(s) tendremos V(X)=t-s,  E(X)=0

E([W(t)-W(s)]^2) = t-s + 0^2

Y para dejarlo exactamente igual ponemos el cuadrado del valor absoluto que es lo mismo que el cuadrado de lo que hay sin valor absoluto

E(|W(t)-W(s)|^2) = t-s

Y eso es todo.