Demostración esperanza condicional.

No he tenido tiempo de ver entera la unidad 2, luego la 1 menos.

Pero bueno, en la definición 2.1.3.1 dice que E[X|Y] es una variable aleatoria que cumple que

$$\begin{align}&1) E[X|Y] \;es \;sigma(Y)\text{-medible}\\ &2) \forall A \in \sigma(n) \;se\; cumple\;\int_AE(X|Y)dP=\int_AXdP\end{align}$$

De algeebras, semianillos, medidas de Lebesgue y todo eso ando fatal, vamos nada, asi que no voy a poder ser riguroso.

1) Lo que decía, seguro que la expresión que han puesto para E(X|Y) es sigma(Y)-medible, muy rara tendría que ser par no serlo.

2)

Todo elemento del álgebra creo que se obtiene como unión finita de intervalos [a, b] luego por linealidad de la integral definida lo demostraremos solo para un intervalo genérico [a, b]

$$\begin{align}&\int_a^bE(X|Y)dx=\int_a^b \frac{X(x)+X(1-x)}{2}dx=\\ & \\ & \int_a^b \frac {X(x)}{2}dx+\int_a^b \frac{X(1-x)}{2}dx=\\ & \\ & \text{hacemos un cambio para la segunda}\\ & t=1-x\\ & dt=-dx\\ & x=a \implies t=1-a\\ & x=b \implies t=1-b\\ & \\ & =\int_a^b \frac {X(x)}{2}dx+\int_{1-a}^{1-b}- \frac{X(t)}{2}dt\end{align}$$

Por aquí no vamos a llegar a ningún lado. Yo creo que el enunciado está mal, que lo que querían decir es

X(x) = (1-x)x

Ya que Y(x) = (1-x)x no pinta nada.

Entonces sería

$$\begin{align}&\int_a^bE(X|Y)dx=\int_a^b \frac{X(x)+X(1-x)}{2}dx=\\ &\\ &\int_a^b \frac{(1-x)x+[1-(1-x)](1-x)}{2}dx=\\ &\\ &\int_a^b \frac{(1-x)x+(1-1+x)(1-x)}{2}dx=\\ &\\ &\int_a^b \frac{(1-x)x+x(1-x)}{2}dx=\\ &\\ &\int_a^b \frac{2x(1-x)}{2}dx=\\ &\\ &\int_a^b x(1-x)dx =\\ &\\ &\int_a^bX(x) dx\\ &\\ &\text{Luego en resumen}\\ &\\ &\int_a^bE(X|Y)dx=\int_a^bX(x) dx\end{align}$$

que era lo que teníamos que demostrar.

Y eso es todo, perdona por no hacerlo muy bien pero no tengo tiempo para estudiarlo todo. ¿Tú estudias Matemáticas o Estadística?