¿Cuál es el rango de la siguiente función?

El rango de una función es el dominio de la función inversa. Pero a veces resulta complicado calcular la inversa o salen dos funciones inversas.

Antes hay que hacer unas consideraciones previas, Para que f(x) estñe definida debe ser

x-5>0

x>5

Luego el numerador es

x+6 > 5+6 = 11

Luego numerador y denominador positivos significa que y es siempre positiva.

$$\begin{align}&y=\frac{x+6}{\sqrt{x-5}}\\ &  \\ &  y \sqrt{x-5}=x+6\\ &  \\ &  y^2(x-5) = x^2+12x+36\\ &  \\ &  x^2 +(12-y^2)x+36+5y^2=0\\ &  \\ &  x=\frac{-12+y^2\pm \sqrt{(12-y^2)^2-4(36+5y^2)}}{2}=\\ &  \\ &  \frac{-12+y^2 \pm \sqrt{144-24y^2+y^4-144-20y^2}}{2}=\\ &  \\ &  \frac{-12+y^2\pm \sqrt{y^4-44y^2}}{2}=\\ &  \\ &  \frac{-12+y^2\pm y \sqrt{y^2-44}}{2}\end{align}$$

Y esta función x=f(y) estará definida siempre que el radicando no sea negativo.  Pero también deberá ser y positivo tal como se dedujo al principio

$$\begin{align}&y^2-44 \ge 0\\ &   \\ &   y^2 \ge 44\\ &   \\ &   |y| \ge \sqrt{44}=2 \sqrt{11}\\ & \\ & \text{por lo que decía  de que }y\gt 0\text{ debe ser}\\ & \\ & y \gt 2 \sqrt{11}\\ & \\ & \text{Y el rango será}\\ & \\ & Rango\; f = [2 \sqrt {11}, \infty)\end{align}$$