Espacios métricos y medida de Lebesgue
Buenas tardes estimado experto, necesito ayuda con esto. Le agradezco de antemano. Saludos cordiales.
1 Respuesta
Por definición S es una sigma-algebra sobre X si es una colección de subconjuntos de X tales que
1) El subconjunto vacío € S
2) Si A € S ==> el complementario de A € S
3) Si A1, A2,... es una sucesión numerable de elementos de S entomces su unión también pertenece a S
Una propiedad que se deduce enseguida es que la intersección numerable de elementos de S tambien pertenece a S ya que
$$\begin{align}&\cap_{n=1}^{\infty}A_n=(\cup_{n=1}^{\infty}A_n^c)^c\end{align}$$Yo necesito demostrar que el intervalo (-oo, c] pertenece a S
Para ello tomo los intervalos (-oo, c + 1/n) para todo n€N que pertenecen a S por ser los complementarios de [c+1/n, oo)
La intersección infinita numerable de los (-oo, c + 1/n) es
(-oo, c] € S
Entonces ahora tomo el subconjunto
(-oo, c] U [d, oo), que pertenece a S
y tomo su complementario que es
(c,d) € S
Luego ya está.
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a)
El triangulito ese no puede ser otra cosa que la unión menos la intersección, se que tiene un nombre especial pero no me acuerdo. Para poder escribirlo usaré /\
A /\ B = (A U B) - (A n B)
AnB está contenido en AUB, luego por la propiedad sustractiva de la medida
mu(A/\B) = mu(AUB) - mu(AnB) = 0
max(mu(A), mu(B) <= mu(AUB) = mu(AnB) <= min(mu(A), mu(B))
Si mu(A) >= mu(B) ==> mu(A) <= mu(B) ==> mu(A)=mu(B)
y
SI mu(A) <=mu(B) ==> mu(B) <= mu(A) ==> mu(B)= mu(A)
luego mu(A)=mu(B)
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b)
Tiene la propiedad reflexiva
mu(B/\B) = mu[(B U B) -(B n B)] = mu(B \ B) = mu(vacio)=0
Tiene la simétrica, si
0=mu(B/\C) = mu[(BUC)-(BnC)] = mu[(CUB)-(CnB)] = mu(C/\B)=0
Y tiene la transitiva
mu(B/\C) = mu[(BUC)-(BnC)] = 0
mu(C/\D) = mu[(CUD)-(CnD)] = 0
entonces
$$\begin{align}&B \cap C \subseteq B,C\subseteq B\cup C\\ &\\ &\text{como}\\ &\mu(B\cap C) = \mu(B \cup C) \implies\\ &\\ &\mu(B) = \mu(B\cup C) =\mu(B)+\mu(C-B) \implies\\ &\\ &\mu(C-B)=0\\ &\\ &\text{analogamente}\\ &\\ &\mu(D-C)=0\\ &\\ &(D-C)\; y\; (C-B) \;son\; disjuntos\;luego\\ &\\ &\mu((D-C)\cup(C-B)) = \mu(D-C)+\mu(C-B) =0\end{align}$$No me sale, pero la idea es que B y C son conjuntos casi iguales y Cy D también, con lo que B y D son casi iguales y se verifica que
mu(B/\D)=0
Pero no se hacerlo. A lo mejor tú sabras algún teorema que lo haga inmediatamente.
Muy comprensible su explicación, muchas gracias. Saludos cordiales.
Me ha salido un poco mejor lo de la propiedad transitiva, yo creo que está bien:
A/\B = (AUB) - (AnB) = (A-B) U (B-A)
Si mu(A/\B)=0
0=mu(A/\B) = mu [(A-B) U (B-A)] >= máx{mu(A-B), mu(B-A)} ==> mu(A-B)=mu(B-A)=0
Luego A y B solo difieren en a lo sumo en dos conjuntos de puntos numerables (A-B) U (B-A).
Analogamente si mu(B/\C)=0 se tiene que B y C difieren (B-C) U (C-B)
Entonces A y C diferirán como mucho en
1) Los de A que no están en B, esto es A-B
2) Los de A que están B pero no en C. esto está incluido en B-C
3) Los de C que no están en B. que son C-B
4) Los de C que están en B pero no en A, esto está incluido en B-A
Luego los puntos en quie difieren AyC están contenidos en
(A-B) U (B-C) U (C-A) U (B-A)
Que son cuatro conjuntos numerables y por lo tanto su uníon es numerable.
Luego AyC difieren a lo sumo en un conjunto numerable de puntos, por lo tanto
mu[(A-C) U(C-A)] = mu(A/\C) = 0
Y eso es todo.
