Problemas de conjuntos, doble, triple y cuádruplo
Qué tal tengo un problema porque no puedo plantear bien este ejercicio de conjuntos:
Se hizo una encuesta a 50 personas sobre preferencias respecto a dos
revistas A y B. Se observa que los que leen las dos revistas son el doble de
los que leen solo A, el triple de los que leen solo B y el cuádruplo de los que
no leen ninguna de las dos revistas. ¿Cuántas personas leen la revista A?
1 Respuesta
Hay que plantear las ecuaciones que nos dicen y resolverlas. Llamare card(X) al cardinal del conjunto X.
Si haces el diagrama de los conjuntos puedes ver que el conjunto universal de las 50 personas (llamémoslo Z porque U se confunde con el símbolo de unión) se puede dividir en cuatro conjuntos disjuntos.
A - B
B - A
A n B
Z - (A u B)
lo cual significa que
card(A-B) + card (B-A) + card(AnB) + card[Z-(AuB)] = 50
el último cardinal puede ponerse de otra forma
card(A-B) + card (B-A) + card(AnB) + 50 - card(AuB) = 50
card(A-B) + card(B-A) + card(AnB) = card(AuB)
El enunciado nos dice estas cosas
1) card(Z) = 50
2) card(A u B) = 2·card(A-B)
3) card(A u B) = 3·card(B-A)
4) card(A u B) = 4·card[Z - (AuB)]
Esta cuarta ecuación la modificamos de igual forma que hicimos arriba
card(AuB) = 4[50-card(AuB)]
card(AuB) = 200 - 4card(AuB)
5card(AuB) = 200
card(AuB) = 40
Vamos a la ecuación 2)
40 = 2·card(A-B)
card(A-B) = 20
Vamos a la ecuación 3)
40 = 3·card(B-A)
card(B-A) = 40/3 = 13.3333......
EL ENUNCIADO ESTA MAL el cardinal de cualquier conjunto debe ser un número entero.
Revisa el enunciado para ver si está bien. SI fueran 60 personas en lugar de 50 si habría solución, ya que AuB=48, A-B=24 B-A=16, AnB= 48-24-16=8, A=(A-B)u(AnB)=24+8=32
Pero con 50 no hay solución.
Yo también creo que está mal el enunciado, pero encontré una respuesta rara. No tengo ni idea cómo sacó los valores :(
Se hizo una encuesta a 50 personas sobre preferencias respecto a dos revistas A y B. Se observa que los que leen las dos revistas son el doble de los que leen solo A, el triple de los que leen solo B y el cuádruplo de los que no leen ninguna de las dos revistas. ¿Cuántas
personas leen la revista A?
A) 24
B)30
C) 32
D) 36
E)40
<a href="http://s1315.photobucket.com/user/mrshushu12/media/99014d6d-cdd7-4cb3-a806-a11972b8e9a1_zps13da3b9e.jpg.html" target="_blank"><img src="
" border="0" alt=" photo 99014d6d-cdd7-4cb3-a806-a11972b8e9a1_zps13da3b9e.jpg"/></a>
6x + 12x + 4x + 3x= 50 entonces x = 2
n(A) = 18(2) = 36
ahí está la imagen que no salió arriba.
Perdón. Me confundí completamente. Interpreté los que leen la dos revistas como los que leían alguna.
Entonces yo decía que los que leen las dos eran AuB cuando son AnB
Entonces las ecuaciones son
card(A-B) + card(B-A) + card(AnB) + card[Z-(AuB)] = 50
card(AnB) = 2·card(A-B)
<div>card(AnB) = 3·card(B-A)</div><div>card(AnB) = 4·card[Z-(AuB)]</div>En las ecuaciones 2, 3 y 4 despejamos los cardinales que hay en la izquierda y los llevamos a la primera ecuación
card(AnB)/2 + card(AuB)/3 + card(AnB) + card(AnB)/4 = 50
El mínimo común múltiplo de los denominadores es 12, multiplicamos todo por eso
6card(AnB) + 4card(AuB) + 12car(AnB) + 3card(AnB) = 600
25 card(AnB) = 600
card(AnB) = 600/25 = 24
Luego ya tenemos los elementos que hay en la intersección
Los que leen la revista A son los que solo leen la revista A más los que leen la A y la B
card(A) = card(A-B) + card(AnB) = card(AnB)/2 + card(AnB) = 24+12 = 36
Luego los que leen la revista A son 36.
Perdona por el fallo.
No, al contrario muchísimas gracias. Muy clara tu explicación, sólo una cosa este es un teorema o de dónde sacas esta igualdad: "card(A-B) + card(B-A) + card(AnB) + card[Z-(AuB)] = 50".
Muchísimas gracias.
