Problema usando el teorema de Cauchy.
Resuelve la integral:
$$\begin{align}&∮_σ〖coshz(z^ (-4))dz〗\end{align}$$Sobre el cuadrado:
$$\begin{align}&σ=(2,-2)∪(2,2)∪(-2,2)∪(-2,-2)\end{align}$$Aplica la fórmula integral de Cauchy.
1 respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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Amo Mo!
El camino cerrado sigma es de clase C1 a trozos.
La función coshz es analítica en todo el plano complejo, luego podemos tomar un abierto D simplemente conexo que contenga el camino sigma en su interior. Por ejemplo, un círculo de radio 3 centrado en el origen sería suficiente.
La fórmula integral de Cauchy para las derivadas dice que si f es una función analítica en un dominio simplemente conexo D, entonces para todo punto zo contenido en un camino cerrado simple sigma que a su vez está contenido en D se cumple
$$\begin{align}&\oint_C \frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}dz = \frac {2\pi i}{n!}f^{(n)}(z_0)\\ &\\ &\text{Que para esté ejercicio será}\\ &\\ &\oint_C \frac{cosh\;z}{(z-0)^{3+1}}dz = \frac {2\pi i}{3!}f^{(3)}(0)=\\ &\\ &\text{la derivada tercera del coshz es senhz}\\ &\\ &cosh'(z) = senh(z)\\ &\\ &cosh''(z) = cosh(z)\\ &\\ &cosh'''(z) = senh(z)\\ &\\ &\text{luego lo de arriba queda en }\\ &\\ &= \frac{2\pi i}{6}senh(0)= \frac{\pi i}{3}·\frac{e^0-e^{-0}}{2}= 0\end{align}$$Luego la integral es 0.
Y eso es todo.
