Demuestre que el conjunto W de todas las matrices de 2×2,...
Demuestre que el conjunto W de todas las matrices de 2x2, que tiene ceros en la diagonal principal, es un subespacio del espacio vectorial M22 de todas las matrices de 2x2
El teorema de caracterización de subespacios vectoriales tiene dos formas de expresarse, yo prefiero la que tiene dos condiciones: Sea V el espacio vectorial y U el subconjunto. Entonces U es subespacio de V si y solo se cumplenb estas dos condiciones
1) Para todo u1, u2 € U se cumple u1+u2 € U
2) Para todo u € U y todo k€K (el cuerpo) se cumple ku € U
Sean dos matrices con ceros en la diagonal principal
(0 a) (0 c) ( 0 a+c)
(b 0) + (d 0) = (b+d 0 )
Se cumpe la condición 1 ya que la suma tiene ceros en la diagonla principal
Y ahora el producto de un escalar por la matriz es
(0 a) ( 0 ka)
k (b 0) = (kb 0)
Que también tiene ceros en la diagonal principal, luego se cumple la segunda condición.
Y como se cumplen las dos se concluye que las matrices 2x2 con todo ceros en la diagonal principal (W) son un subespacio vectorial de M2x2
Y eso es todo.
