Falso o verdadero sobre subespacios vectoriales.

III. Verdadero. El teorema de caracterización de subespacios vectoriales dice que un conjunto H es subespacio vectorial de un espacio vectorial V si se cumple

i) u + v € H para todo u,v € H

Ii) t·u € H para todo t€K y todo u € H

Que también se puede resumir en una sola comprobación

I ) tu + sv € H para todos t, s€K y todos u, v€H

Dadas cualesquiera dos matrices diagonales multiplicadas por un escalar y sumadas dan como resultado una matriz diagonal. Luego son un subespacio de las matrices cuadradas, (3x3 en esta pregunta).

IV. Verdadero. Igual que antes, cualquier combinación lineal de matrices triangulares superiores es una matriz triangular superior y por lo tanto son un subespacio de las matrices cuadradas (3x3 en este caso)

V. Falso. Puedes tomar una triangular superior y sumarle una triangular inferior de suerte que el resultado no es triangular de ninguna clase, puedes hacer que todos los elementos sen distintos de cero.

IX. Otra vez el problema de polinomios de grado n. Ya me están haciendo dudar.

Si por conjunto de polinomios de grado 2 entendemos los que tienen grado exactamente igual a 2, entonces no es un subespacio vectorial porque el polinomio nulo no tiene grado 2.

Ahora bien, si con conjunto de polinomios de grado 2 están queriendo decir los polinomios de grado 2 o menor, entonces si es un subespacio vectorial de P3 ya que cualquier combinación lineal de polinomios con grado 2 o menor da un polinomio de grado 2 o menor.

Y eso es todo.