Resuelve el siguiente problema de espacios métricos y conjuntos medibles
Sea:
$$\begin{align}&(X,S,μ) \end{align}$$Un espacio de medida.
a. Si:
$$\begin{align}&A,B∈S \end{align}$$Y:
$$\begin{align}&μ(A∆B)=0\end{align}$$Prueba que:
$$\begin{align}&μ(A)=μ(B).\end{align}$$b. Definimos A equivalente a B si:
$$\begin{align}&A,B∈S\end{align}$$Y:
$$\begin{align}&μ(A∆B)=0\end{align}$$Prueba que es una relación de equivalencia.
1 Respuesta
Amo Mo!
a)
Nunca me acuerdo como se llama la operación expresada por ese triángulo, es la unión menos la intersección. Para poder escribirlo usaré /\
A /\ B = (A U B) - (A n B)
AnB está contenido en AUB, luego por la propiedad sustractiva de la medida
mu(A/\B) = mu(AUB) - mu(AnB) = 0
máx{mu(A), mu(B)} <= mu(AUB) = mu(AnB) <= mín{mu(A), mu(B)}
Si mu(A) >= mu(B) ==> mu(A) <= mu(B) ==> mu(A)=mu(B)
y
SI mu(A) <=mu(B) ==> mu(B) <= mu(A) ==> mu(B)= mu(A)
luego mu(A)=mu(B)
----------------
b)
Tiene la propiedad reflexiva
mu(B/\B) = mu[(B U B) -(B n B)] = mu(B \ B) = mu(vacio)=0
Tiene la simétrica, si
0=mu(B/\C) = mu[(BUC)-(BnC)] = mu[(CUB)-(CnB)] = mu(C/\B)=0
Y tiene la transitiva.
A/\B = (AUB) - (AnB) = (A-B) U (B-A)
Si mu(A/\B)=0
0=mu(A/\B) = mu [(A-B) U (B-A)] >= máx{mu(A-B), mu(B-A)} ==> mu(A-B)=mu(B-A)=0
Luego A y B solo difieren en a lo sumo en dos conjuntos de puntos numerables (A-B) U (B-A).
Analogamente si mu(B/\C)=0 se tiene que B y C difieren (B-C) U (C-B)
Entonces A y C diferirán como mucho en
1) Los de A que no están en B, esto es A-B
2) Los de A que están B pero no en C. esto está incluido en B-C
3) Los de C que no están en B. que son C-B
4) Los de C que están en B pero no en A, esto está incluido en B-A
Luego los puntos en quie difieren AyC están contenidos en
(A-B) U (B-C) U (C-A) U (B-A)
Que son cuatro conjuntos numerables y por lo tanto su uníon es numerable.
Luego AyC difieren a lo sumo en un conjunto numerable de puntos, por lo tanto
mu[(A-C) U(C-A)] = mu(A/\C) = 0
Y eso es todo.
