Al parecer mi pregunta salió en otra sección, no sé si usted pueda verla. La haré nuevamente.
¿Podría ayudarme con la siguiente integral? Es de Variable Compleja, el problema es que no sé me ocurre nada, casi no vi el tema de integrales, y ahora me ponen esto.
$$\begin{align}&Pn(x) = \int_0^\pi \! (x+i \sqrt{1-x^2}CosA \, \mathrm{d}A.\end{align}$$La verdad es que no entiendo ni la misma integral.
Espero su ayuda. Gracias de antemano.
1 Respuesta
No es la notación habitual, y entonces no sé si dices que es compl, eja porque la función es compleja o porque la variable puede tomar valores complejos. En una integral de variable compleja se llamaría z a la variable y dz al diferencial y para la integración serviría cualquier camino que llevase de 0 a Pi metiéndose por dentro del plano complejo. Y habría que usar una parametrización de ese camino. Mientras que aquí yo no estoy seguro si A es una variable compleja o no, entonces puede que sea real y la integral sea una integral normal con el único añadido de la letra i que aparece en el integrando. De todas formas creo que el resultado es el mismo.
Además falta un paréntesis que no sé si va tras la raíz o el coseno.
Y aun habría una consideración más sobre si la x es la parte real de la variable compleja o no.
En este ejercicio se necesitaría saber el enunciado completo o el contexto donde sale. Todo eso se podría averiguar si sale en un libro.
Buenos días,
La verdad es que yo también tengo todas las dudas, estoy totalmente perdido. Lo que pasa es que el maestro así escribió el ejercicio. El paréntesis abarca toda la función de la integral, para indicar que todo multiplica al diferencial dA. Este ejercicio no viene en el libro, pero viene algo parecido en el ejercicio 5 de la página 105 del libro Churchill, aunque el ejercicio es diferente, aparte de que la función está elevado a la n, y contiene un 1/pi, pero quizás ese ejercicio pueda aclararle sus dudas. Espero me pueda ayudar, si no, no hay problema, es error el maestro.
Ah, me falto poner que hay que calcular |Pn(x)| si Pn(x) es la integral mencionada.
Si tomamos como cronología la del libro sería una integral compleja de variable de integración real. La variable A bien podría representar un ángulo alfa o theta.
$$\begin{align}&Pn(x) = \int_0^\pi (x+i \sqrt{1-x^2}CosA) \mathrm{d}A=\\ &\\ &\int_0^\pi x\; \mathrm{d}A+i\int_0^\pi \sqrt{1-x^2}CosA\; \mathrm{d}A=\\ &\\ &\left.xA \right|_0^{\pi}+ i \sqrt{1-x^2}\left.senA\right|_0^{\pi}=\\ &\\ &x\pi-x·0+i\sqrt{1-x^2}·0-i\sqrt{1-x^2}·0=\pi x\\ &\\ &luego\\ &\\ & |P_n(x)| = |\pi x| = \pi|x|\end{align}$$Y eso es todo.
Que sencillo ejercicio al ver como lo resolvió usted tan rápido. He entendido que es como una integral de un complejo w(t) = u(t) + i(v(t), donde el imaginario i donde se integra cada parte con respecto a la variable real t. En verdad, estoy muy agradecido. ¡Gracias!
