Anónimo
Aplicaciones de la integral de linea
Soy el usuario y pido apoyo con lo siguiente:
1.- Cuál es la distancia de un camino delimitado por la integral de linea INT x² dx + zy dy - y dz, si está sobre el segmento rectilíneo que va del punto (4,3,2) al (0,0,0).
2.- En un taller mecánico se tiene un resorte cuya forma es igual a una hélice, se necesita calcular su masa, para ponerlo en un arnés. Si la fórmula para obtenerlo es:
m=INT p(x,y,y)dA; cuya densidad es p(x, y, z)=K y la parametrización r(t)=(cos 2t, sen2t,t)
0 menor igual t menor igual 2 pi ¿Cuál es la masa del resorte?
1 respuesta
1) La distancia de un camino no se calcula por la integral de línea de un campo vectorial. Yo creo que ese enunciado es incorrecto. Te puedo calcular la integral de línea pero no te dará la longitud del camino sino el trabajo que efectúa el campo al llevar un objeto por el camino.
2) Y en este no entiendo la notación, no sé que es dA.
¿Podrías decirme el libro donde salen estos ejercicios y la teoría?
Hola si me puedes calcular la integral de linea para que me de el trabajo gracias, espero su apoyo.
Si gusta puedo puntuar este problema como lo máximo ya que hay error en el enunciado por mi parte y pueda pasar al problema que sigue por favor usted me dice muchas gracias.
Para calcular la integral de línea del ejercicio 1 lo primero hacemos una parametrización del camino. Es un camino rectilíneo, las ecuaciones paramétricas de la recta pueden servirnos.
El vector va de (4,3,2) a (0,0,0) luego es
(0,0,0) - (4,3,2) = (-4, -3, -2)
Y el punto de partida es (4, 3, 2)
luego la ecuación paramétrica de la recta es
r: (4,3,2) + t(-4,-3, -2)
x(t) = 4 - 4t
y(t) = 3 - 3t
z(t) = 2 - 2t
Y el camino se recorre para t entre 0 y 1
También necesitamos las derivadas de la parametrización
x'(t) = -4
y'(t) = -3
z'(t) = -2
$$\begin{align}&\int_{\gamma}X^2dx+ZYdy-Ydz=\\ &\\ &\int_0^1\left[[x(t)]^2·x'(t)+z(t)·y(t)·y'(t)-y(t)·z'(t) \right]dt=\\ &\\ &\int_0^1 \left[(4-4t)^2(-4)+(2-2t)(3-3t)(-3)-(3-3t)(-2) \right]dt=\\ &\\ &\int_0^1(-64+128t-64t^2-18+18t+18t-18t^2+6-6t)dt =\\ &\\ &\int_0^1(-82t^2+158t-76) dt =\\ &\\ &\left[-\frac{82t^3}{3}+\frac{158t^2}{2}-76t \right]_0^1=\\ &\\ &-\frac{82}{3}+ 79-76= -\frac{73}{3}\end{align}$$Y eso es todo. El ejercicio 2, si lograrás darme la teoría o explicármelo mejor, mándalo en otra pregunta. Y ahora voy ya a dormir que aquí son las 7:35 am Pasarán muchas horas hasta que pueda ponerme con el ordenador y tengo muchas preguntas de otros usuarios pendientes y las tuyas son de temas que tan apenas me preguntan, tengo que repasar para poder contestarlas, luego ten bastante paciencia.