Problema en relación al proceso de Poisson

Juan Pérez!

a) Con el dato que nos dan de la probabildiad de no haber recibido llamadas en una hora calcularemos el parámetro lambda.

Lambda es la media de la distribución de Poisson, supondremos que es la media de una hora

$$\begin{align}&p(k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}\\ &\\ &e^{-20}=p(0)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^0}{0!}= e^{-\lambda}\\ &\\ &e^{-\lambda}=e^{-20}\\ &\\ &\lambda=20\end{align}$$

El número de llamadas anteriores no prejuzga el número de llamadas futuras.  A las 9 el proceso empieza a contabilizar como uno nuevo.

Ahora debemos hallar la probabilidad de 1 ocurrencia en un cuarto de hora. Si en una hora la media de llamadas eran 20, en un cuarto de hora se esperan 5, con lo cual el parámetro lambda del proceso será 5.

Nos piden que haya una llamada antes de las 9:15, pero puede haber 2, 3 o infinitas

$$\begin{align}&P(\ge1)=1-P(0) = 1- \frac{e^{-5}·5^0}{0!}=1-e^{-5}\approx\\ &\\ &0.993262053\end{align}$$

b) Se deben producir 30 llamadas entre las 9 y las 10 y otras 30 entre las 10 y las 10:30

La primera se calcula con una distribución de parámetro 20 y la segunda con una de parámetro 10 ya que en media hora se esperan 10 llamadas. La probabilidad conjunta es el producto de las dos.

$$\begin{align}&P=\frac{e^{-20}20^{30}}{30!}·\frac{e^{-10}·10^{30}}{30!}=\\ &\\ &8.343536246·10^{-3}·1.711571736·10^{-7}=\\ &\\ &1.428056081·10^{-9}\end{align}$$

Y eso es todo.