Ecuación con variables separables

Majo Bocanegra!

Tal como está escrita no sería de variables separables

$$\begin{align}&x+ \sqrt x \frac {dy}{dx}=y+\sqrt y\\ & \\ & \sqrt x \frac {dy}{dx}=y+\sqrt y-x\\ & \\ & \frac{dy}{y+\sqrt y-x}= \frac{dx}{\sqrt x}\end{align}$$

Y en el denominador de dy hay una x inquitable.

Supondré que quieres decir esto:

$$\begin{align}&(x+ \sqrt x) \frac {dy}{dx}=y+\sqrt y\\ &\\ &entonces\\ &\\ &\frac{dy}{y+ \sqrt y}= \frac{dx}{x+\sqrt x}\\ &\\ &\int \frac{dy}{y+ \sqrt y}= \int \frac{dx}{x+\sqrt x}\\ &\\ &\text{basta que resolvamos una}\\ &\\ &\int \frac{dx}{x+\sqrt x}=\\ &\\ &t= \sqrt x\\ &\\ &dt =\frac {dx}{2 \sqrt x}\implies dx =2 \sqrt x dt=2t\;dt\\ &\\ &=\int \frac{2t}{t^2+t}dt=2\int \frac {dt}{t+1}=\\ &\\ &2ln(t+1)=2 ln(\sqrt x +1)\\ &\\ &\text{luego la ecuación diferencial queda}\\ &\\ &2 ln(\sqrt y +1) = 2 ln(\sqrt x +1) + 2lnC\\ &\\ &ln(\sqrt y +1) = ln(\sqrt x +1) + lnC\\ &\\ &ln(\sqrt y +1)-ln(\sqrt x+1) = lnC\\ &\\ &ln \left(\frac{\sqrt y +1}{\sqrt x+1}\right)=ln C\\ &\\ &\frac{\sqrt y+1}{\sqrt x+1}=C\\ &\\ &\sqrt y +1 = C(\sqrt x +1)\\ &\\ &\sqrt y = C(\sqrt x+1)-1\\ &\\ &y = [C(\sqrt x+1)-1]^2\end{align}$$