Demostrar que f(x) = x + sen(x) es creciente
Nos piden hacer la demostración, sin usar el criterio de la derivada (que si es positiva en un intervalo, entonces f es creciente), sólo usando la definición.
Hay que demostrar que si x < y, entonces x + sen(x) < y + sen(y)
Lo que se es que -x < sen(x) < x y -y < sen(x) < y
Bueno, y que el seno es acotada.
Con eso no me sale, no se si haya que usar alguna identidad trigonométrica o algo.
Agradezco mucho una sugerencia de cómo abordar el problema.
1 Respuesta
Si f(x) = x + sen(x), entonces f'(x) = 1 + cos(x), para todo x en los reales
entonces 0 <= f'(x) <=2
entonces 0 <= lim f(y) - f(x) / (y-x) <= 2 (el límite cuando y tiende a x)
1. entonces: 0 <= f(y) - f(x) / (y-x) <= 2
2. Si x < y, y-x > 0, entonces 0 <= f(y) - f(x) <= 2(y-x)
3. 0 <= y + sen(y) - x - sen(x) <= 2y - 2x
Como sen(z) <= z para todo z en los reales, la igualdad se cumple sólo si z = 0. Entonces, en la línea anterior, la igualdad a cero se da sólo se da cuando x = y, pero como x < y, se cumple la desigualdad estricta, por lo que
0 < y + sen(y) - x - sen(x), lo que implica f(x) < f(y)
4. Si x > y, en el paso 2 las desigualdades se invierten y, de frorma análoga, llegremos a que y + sen(y) - x - sen(x) < 0, lo que implica f(y) < f(x).
Como procedimos para x arbitraria, concluimos que f es creciente.
