Ecuación homoégena (x^2e^-y/x+y^2)dx + (xy)dy
¡Buenas tardes!
Tengo una duda con la ecuación
(x^e^-y/x+y^2)dx - (xy)dy
Ya la revisé y si es homogénea, pero al intentar integrar no lo consigo.
Majo Bocanegra!
Me es imposible saber cual es la ecuación, creo que no has aplicado la regla de que todo numerador y denomindor compuesto de operaciones debe ir encerrado entre paréntesis, si no es imposible saber donde empiezan o terminan.
Además esto me parece que no se usa nunca
x^e^-y
Sería algo así
$$\begin{align}&x^{e^y}\end{align}$$función que jamás he visto y que en la vida va a poder darnos una ecuación homogénea.
Por favor, manda el enunciado correcto y con los paréntesis precisos.
Una disculpa! La ecuación sería
[(x^2)e^-y/x + y^2]dx + [xy]dy
Yo creo que sigues sin usar la regla de los paréntesis.
Dime cuál es:
$$\begin{align}&a)\quad \left(\frac{x^2e^{-y}}{x}+ y^2\right)dx + xy\,dy = 0\\ & \\ & b) \quad \frac{x^2e^{-y}}{x + y^2}dx + xy\,dy = 0\\ & \end{align}$$Por otra parte veo que ya has puntuado buena. Y una ecuación diferencial no se pone uno a resolverla sabiendo que solo va obtener buena, debes cambiar la puntuación a excelente. Y si no se puede cambiar, manda el ejercicio en otra pregunta nueva.
Más bien sería:
$$\begin{align}&[(x^2) e^-y/x + y^2`]dx + [xy]dy\end{align}$$e está a la potencia -y/x
A ver, entonces es esta:
$$\begin{align}&\left(x^2e^{-y/x} + y^2\right)dx + xy\,dy=0 \end{align}$$La forma de escribirlo debería haber sido
[x^2·e^(-y/x)+y^2]dx + xy dy = 0
Tan importante o más que los paréntesis en numeradores y denominadores lo son en los exponentes compuestos. Asimismo he puesto el =0 que supongo debe haber al final.
Confírmame si es esa la ecuación y si lo es veré si la puedo solucionar ya.
Si, es esa ¡una disculpa por la confusión!
La forma habitual de escribir las ecuaciones homogéneas es
dy/dx = f(x,y)
Donde la función f debe cumplir
f(Kx, ky) =f(x, y) para todo k € R para que sea una ecuación diferencial homogénea.
$$\begin{align}&\left(x^2e^{-y/x} + y^2\right)dx + xy\,dy=0\\ & \\ & \frac {dy}{dx}=-\frac{x^2e^{-y/x}+y^2}{xy}\\ & \\ & f(kx,ky)=-\frac{k^2x^2e^{-ky/kx}+k^2y^2}{kxky}=-\frac{x^2e^{-y/x}+y^2}{xy}\\ & \\ & \text {Luego es homogénea. Hacemos el cambio }\\ & y=ux\\ & \\ & \frac{dy}{dx}=\frac{du}{dx}x+u=\frac{x^2e^{-u}+u^2x^2}{x^2u}\\ & \\ & \frac{du}{dx}x+u=\frac{e^{-u}+u^2}{u}\\ & \\ & \frac{du}{dx}x=\frac{e^{-u}+u^2}{u}-u\\ & \\ & \frac{du}{dx}x=\frac{e^u+u^2-u^2}{u}\\ & \\ & \frac{du}{dx}x=\frac{e^u}{u}\\ & \\ & \frac{u}{e^{u}}du = \frac {dx}{x}\\ & \\ & ue^{-u}du=\frac {dx}{x}\\ & \\ & \int ue^{-u}du=lnx+lnC= ln(Cx)\\ & \\ & \end{align}$$No hay peor cosa que tener que hacer una integral por partes cuando has llamado u a la variable de integración. Deja que la haga aparte usando la variable x de integración de toda la vida
$$\begin{align}&\int xe^{-x}dx = \\ &\\ &u= x\quad \quad\quad du=dx\\ &dv = e^{-x}dx\quad v = -e^{-x}\\ &\\ &=-xe^{-x}+\int e^{-x}dx =\\ &\\ &-xe^{-x}-e^{-x}= -e^{-x}(x+1)\end{align}$$Luego la solución es:
$$\begin{align}& -e^{-u}(u+1) = ln(Cx)\\ & \\ & -e^{-y/x}\left(\frac yx+1\right) = ln(Cx)\\ & \\ & -e^{-y/x}(y+x) = x·ln(Cx)\end{align}$$Y es imposible depejar la y, liego debe dejarse en forma implícita.
Y eso es todo.
