Como comprobar algo que la recta tangente es perpendicular
Como que esto de comprobar algo no se me da, ¿me podrías ayudar?,
Sea
C una circunferencia en el plano P. Si un radio r toca a la circunferencia en
Un punto A de la circunferencia, por este punto pasa una recta tangente.
Probar que la recta tangente es perpendicular al radio r.
1 Respuesta
Tomemos la circunferencia centrado en el origen y además lo haré para radio = 1. No hay ningún problema en hacerlo para un radio distinto o una circunferencia no centrada en el origen pero las cuentas se complican innecesariamente.
La ecuación de la circunferencia será
x^2 + y^2 = 1
y un punto P de la circunferencia será
P=(cost, sent) para t€[0, 2pi)
el vector v de la recta que contiene el radio que va a ese punto es
v=(cost, sent)
Una recta que pase por ese punto P en ecuaciones paramétricas será
x=cost+as
y=sent+bs
y su vector será (a,b)
Hagamos que la intersección recta circunferencia sea solo ese punto de tangencia
(cost+as)^2+(sent+bs)^2=1
cos^2t + a^2s^2 + 2as·cost + sen^2t + b^2s^2+ 2bs·sent =1
Simplificamos el cos^2(t)+sen^2(t)=1
a^2s^2 + 2as·cost + b^2s^2+ 2bs·sent = 0
La respuesta s=0 que nos da el punto de tangencia es una de las soluciones, la otra saldrá de
a^2s +2acost+b^2s+2bsent=0
y como lo que queremos es que la otra respuesta también sea s=0 para que no haya dos cortes, sustituimos s por 0 y queda
2acost + 2bsent = 0
acost + bsent = 0
La parte izquierda es un producto escalar
(a, b)(cost, sent) = 0
Luego esos dos vectores son perpendiculares y son los de la recta tangente y el radio, lo que nos pedían demostrar.
Y eso es todo.
