12. Demuestre que el teorema del valor intermedio garantiza que la ecuación x3 – 4x2 + x + 3 = 0 tiene una raíz entre 1 y
Buenos días. Por favor necesito que me ayuden con esta demostración.
Demuestre que el teorema del valor intermedio garantiza que la ecuación
x^3 – 4x^2 + x + 3 = 0 tiene una raíz entre 1 y 2.
El teorema del valor medio necesita una función f(x) que sea
a) continua en [a,b]
b) derivable en (a,b)
·
¡PERO NO!
El teorema del valor medio no se usa para demostrar que hay raíces de una función entre dos puntos, se usa para demostrar que existe un punto con una derivada determinada.
El teorema que se usa para asegurar la existencia de raíces es el teorema de Bolzano, sin ninguna duda se han confundido en el texto.
El teorema de Bolzano dice que si una función es continua en un intervalo cerrado [a,b] y toma signos de valor contrario en los extremos, entonces existe al menos un punto c € (a,b) tal que f(c)=0
Entonces aplicado a este ejercicio.
La función es un polinomio, luegoi es continua en todo R y en particular lo será en el intervalo [1,2]
Los valores de la función en los extremos son
f(x) = x^3 - 4x^2 + x +3
f(1) = 1 - 4 +1 + 3 = 1
f(2) = 2^3 - 4·2^2 + 2 + 3 = 8 - 16 + 2 + 3 = -3
Los signos de f(1) y f(2) son contrarios.
Luego se cumplen las condiciones del teorema de bolzano y por lo tanto habrá por lo menos un punto c € [1,2] donde f(c)=0
Como f es el polinomio, c será una raíz del polinomio.
Y eso es todo.
