Demostrar que la siguiente aseveración es cierta, o porque es falsa.

La línea donde dices

Si x={h1+h2+h3} es un conjunto linealmente independiente.

debe ser

Si x={h1, h2, h3} es un conjunto linealmente independiente.

Es un conjunto de tres elementos el que es linealmente independiente, si fuese la suma sería solo un elemento y sería independiente siempre que no fuese el vector nulo. Luego lo que es independiente es el conjunto {h1, h1, h3}

Además yo creo que estáis usando las llaves para dos cosas distintas. Cuando te quieres referir el espacio generado por los vectores se escribiría así

X = <h1, h2, h3>

y esto es un espacxio vectorial y es un conjunto probablemente infinito

Mientras que el conjunto formado por los vectores tiene solo tres elementos y se escribe

C = {h1, h2, h3}

Entonces suponiendo que C es libre debemos demostrar que

{h1+h2, h2+h3, h1+h3}

es linealmente independiente

Tomemos una combinación lineal de estos elementos igualada al vector nulo y tenemos que demostrar que los coeficientes son todos nulos

a(h1+h2) + b(h2+h3) + c(h1+h3) = 0

a·h1 + a·h2 + b·h2 + b·h3 + c·h1 + c·h3 = 0

(a+c)h1 + (a+b)h2 + (b+c)h3 = 0

como {h1,h2,h3} es libre, eso es posible si y solo si

a+c = a+b = b+c = 0

formamos las tres acuaciones

a+c = 0

a+b = 0

b+c = 0

sumamos las dos primeras y le restamos la tercera

2a + c + b - b - c = 0

2a = 0

a=0

y vamos a la ecuación 1 y 2 y se deduce

c=0

b=0

Luego a=b=c=0

Y por lo tanto el conjunto el conjunto {h1+h2, h2+h3, h1+h3}  es lineamente independiente.

·

Y eso es todo.